常微分方程数值解笔记-1

发布时间:2024年01月12日

个人理解和记录

1.常微分方程和偏微分方程

Ordinary Differential Equation(ODE)和Partial Differential Equation(PDE),区别在于前者只含有一个未知变量,后者含有多个未知变量,注意当两个变量相关时应当看作是一个未知变量。

2.一阶常微分方程的初值问题(IVP)

  • f关于y线性或非线性对应线性和非线性方程
  • 可以把f(x,y)看作是f(y(x)),即有关y的函数,只不过y是一个有关x的函数
  • 下列方程可以看作两个已知条件:y的导数(与y本身有关)以及y的初值

3.函数的n阶范数

函数的绝对值的n次方在自变量区间的积分的n次方根,用于表达向量的长度或矩阵的大小

4.诱导范数

矩阵A乘x就是之前说的,线性变换或者说基变换,原来的基在新空间中的表述即为A对应的列向量,那么A与原来空间中的向量x相乘,即为向量x在新空间中的新表述(可能有旋转、放缩)。

那么诱导范数就是对向量做线性变换后得到新向量中,放大最大的倍数,即为A的诱导范数。

5.前面2中IVP存在唯一解的条件(充分但非必要)——利普希茨条件

利普希茨条件是指函数f关于y的导数有界,比函数一致连续性更强的约束

6.离散方法方法的计算流程

这里将y在xn的取值近似为yn,对应y在xn的导数近似为fn,到底怎么近似取决于近似算法,单步法只需要前一个点和当前点的信息,多步法需要前面多个点的信息。由于误差也会累计,因此需要考虑算法的数值稳定性。

7.三种方法

  • 差商逼近法
    • 欧拉方法
  • 数值积分法
  • 泰勒展开法

8.欧拉方法

使用前向差商近似导数

9.隐式欧拉方法

向后差商近似导数

隐式可以先用显示求解yn+1的初值,再把它代入隐式公式中不断迭代

10.梯形公式(显示欧拉和隐式欧拉的结合)

11.两步欧拉公式

用中间点的导数近似左右两点的差商

12.改进欧拉方法(改进的梯形公式)

既要保留梯形公式的精度,又要使用显示方法便于计算,因此使用显示欧拉公式预测yn+1,再代入梯形公式

13.整体误差、一步误差和局部截断误差

整体误差指的是,在tn点,精确解y(tn)与估算解yn之差

一步误差指的是,在(tn,yn)点对应的曲线上预测的tn+1上的y,即y(tn+1)与采用数值法近似的yn+1之间的差

局部截断误差指的是,预测增量与实际增量之间的误差,或者理解为,假设前面n步没有误差,将yn替换为y(tn),也可得到下面公式

分析局部截断误差的阶次,使用的方法是将精确解和差分解(需要将公式右侧的y都替换为对应的精确解)进行泰勒展开后计算O(h^p+1),对应p阶,注意这里是p阶不是p+1阶。

截图源自【《数值分析》| 华科 | 研究生基础课】https://www.bilibili.com/video/BV1AK4y1k7Px?p=34&vd_source=a53b34e44cbfd40d72a5b337c3e5a13d

文章来源:https://blog.csdn.net/m0_72708335/article/details/135520253
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