数据结构一：算法效率分析（时间复杂度和空间复杂度）-重点

? ? ? ?在学习具体的数据结构和算法之前，每一位初学者都要掌握一个技能，即善于运用时间复杂度和空间复杂度来衡量一个算法的运行效率。所谓算法，即解决问题的方法。同一个问题，使用不同的算法，虽然得到的结果相同，但耗费的时间和资源肯定有所差异。这也就意味着，如果解决问题的算法有多种，我们就需要从中选出最好的那一个。那么，怎么判断哪个算法更好（或者更优）呢？在满足准确性和健壮性的基础上，还有一个重要的筛选条件，即通过算法所编写出的程序的运行效率。程序的运行效率具体可以从 2 个方面衡量，分别为：程序的运行时间和程序运送所需的内存空间大小。本篇博客详细总结如何计算一个算法的时间复杂度和空间复杂度，根据代码的编写形式分为：非递归式(循环)和递归代码的时间复杂度，空间复杂度计算，根据出题的形式又可分为：给定代码计算时间复杂度和空间复杂度，或者给定题目请设计算法同时给出时间复杂度和空间复杂度；后者作为笔试面试的重点考查方式，需要重点掌握！

一、算法复杂度

? ? ? ? ?算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源 。因此衡量一个算法的好坏，一般是从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。 时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外内存空间。根据算法编写出的程序，运行时间更短，运行期间占用的内存更少，该算法的运行效率就更高，算法也就更好。在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计 算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。

?二、复杂度在校招中的考察

三、时间复杂度? ? ?

3.1 时间复杂度的概念，如何理解？

? ? ? ? 在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。记作:T(n)=O(f(n))，其中f(n)是问题规模n的某个函数。它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐近时间复杂度，简称为时间复杂度。O(语句总的执行次数)，即：找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度。

理解概念的两个关键点：

? ? ?1. 用计算语句总的执行次数，来度量时间的；

? ? ?2. 把握好问题的规模这个概念，抓住问题规模；

3.2 推导大O阶方法

? ? ? ?大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。

推导大O阶方法：

1. 用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2. 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3. 如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。得到的结果就是大O阶。?

? ? ? ?通过上面我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。 另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：

1. 最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)
2. 平均情况：任意输入规模的期望运行次数
3. 最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)

? ? ? ?例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x 最好情况：1次找到 最坏情况：N次找到平均情况：N/2次找到在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)。

? ? ? 总结：O(执行次数)? ? ---->? ?O(阶次/数量级)

举个栗子：

实现getsum函数求和1+2+3+...+n
int getsum(int n)
{
    int result=0；   执行1次
    for(int i=1;i<=n;i++)   执行次数为：1+n+n
    {
         result+=i;        执行次数为：n
    }
    return result;         执行1次
}

?分析：

? ?问题规模体现在形参n上，当n不同，计算求和的项数就不同，计算总的执行次数为f(n)=1+1+n+n+n+1=3n+3;? 经过化简可知：O(n)?，可以总结出：像定义变量、循环初始条件、循环判断条件、循环自增变量等这些都不会影响最终的结果(当n较大时)，在计算总的执行次数时可以不计算它们！只需要看循环内部语句总的执行次数。

3.3? 常见的时间复杂度

3.3.1 常数阶

#include <stdio.h>
int main()
{
   int res=0,n=100; 执行1次
   res=(1+n)*n/2;   执行1次
   printf("%d",res); 执行1次
   return 0;         执行1次
}

分析：这个算法的运行次数函数是f(n)=4。根据我们推导大O阶的方法，第一步就是把常数项 4改为1。在保留最高阶项时发现，它根本没有最高阶项，所以这个算法的时间复杂度为O(1)

#include <stdio.h>
int main()
{
   int res=0,n=100; 执行1次
   res=(1+n)*n/2;   执行第1次
   res=(1+n)*n/2;   执行第2次
   res=(1+n)*n/2;   执行第3次
   res=(1+n)*n/2;   执行第4次
   res=(1+n)*n/2;   执行第5次
   res=(1+n)*n/2;   执行第6次
   res=(1+n)*n/2;   执行第7次
   res=(1+n)*n/2;   执行第8次
   res=(1+n)*n/2;   执行第9次
   res=(1+n)*n/2;   执行第10次
   printf("%d",res); 执行1次
   return 0;         执行1次
}

? ? ?事实上无论n为多少，上面的两段代码就是4次和13次执行的差异。这种与问题的大小无关(n的多少)，即没有问题规模，执行时间恒定的算法，我们称之为具有 0(1)的时间复杂度，又叫常数阶。O(K)=O(1)

? ? ? 对于分支结构而言，无论是真，还是假，执行的次数都是恒定的，不会随着 n的变大而发生变化，所以单纯的分支结构 (不包含在循环结构中)，其时间复杂度也是0(1)。

3.3.2 线性阶

? ? ? 线性阶的循环结构会复杂很多。要确定某个算法的阶次，我们常常需要确定某个特定语句或某个语句集运行的次数。(关键是要分析O(1)语句执行的总次数)。因此，我们要分析算法的复杂度，关键就是要分析循环结构的运行情况。

示例一：
#include <stdio.h>
int main()
{
   int i=0;
   for(i=0;i<n;i++)
   {
      /*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 */
   }
   return 0;       
}

? ? ?上面这段代码，它的循环的时间复杂度为 O(n)，因为循环体中的代码须要执行 n次。

总结：对于单层for循环，循环条件与问题规模n有关，时间复杂度一般都是O(n)

3.3.3 对数阶

实例1：
#include<stdio.h>
int main()
{
    int  count=1;
    while (count <n)
    {
         count *=2;
         /*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/
    }
    return 0;
}


实例2：
#include<stdio.h>
int main()
{
    int  num;
    while (num!=0)
    {
        num/=2;
       /*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/
    }
    return 0;
}

示例1：

? ? ?由于每次 count 乘以2之后，就距离n 更近了一分。也就是说，有多少个2相乘后大于 n，则会退出循环。由2^x=n 得到 x=log2n(x也代表次数)。所以这个循环的时间复杂度为0(logn)。

实例2：

? ? ?由于每次num除以2之后，就距离0?更近了一分。也就是说，有多少个2相除后等于0，则会退出循环。由n/2^x=1 ,得到 x=log2n(x也代表次数)。所以这个循环的时间复杂度为0(logn)。

3.3.4 平方阶

实例1：
#include<stdio.h>
int main()
{
    int i,j;
    for(i=0;i<n;i++)
    {
       for(j=0;j<n;j++)
        {
            /*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/
        }
    }
    return 0;
}


实例2：
#include<stdio.h>
int main()
{
    int i,j;
    for(i=0;i<m;i++)
    {
       for(j=0;j<n;j++)
        {
            /*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/
        }
    }
    return 0;
}

实例3：
#include<stdio.h>
int main()
{
    int i,j;
    for(i=0;i<n;i++)
    {
       for(j=0;j<=i;j++)
        {
            /*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/
        }
    }
    return 0;
}

实例1：

? ? ? ?是一个循环嵌套，它的内循环刚才我们已经分析过，时间复杂度为O(n)。而对于外层的循环，不过是内部这个时间复杂度为 O(n)的语句，再循环n次。所以这段代码的时间复杂度为O(n^2)。

实例2：

? ? 如果外循环的循环次数改为了m，时间复杂度就变为O(mxn)。

实例3：

? ? ?由于当i=0，内层循环执行1次，当i=1，内层循环执行2次，当i=2，内层循环执行3次......当i=n-1，内层循环执行n次，因此总的执行次数为：1+2+3+4+...+n即等差数列求和问题：(1+n)*n/2=n/2+n^2=O(n^2)

总结：总结：对于双层for循环，内外循环条件与问题规模n有关，时间复杂度一般都是O(n^2)

四、空间复杂度?

? ? ? 空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度 空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。 空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用大O渐进表示法。 注意：函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因 此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。

? ? ?空间复杂度计算的是与问题规模有关的额外开辟的内存空间！！！比如：临时定义的变量与问题规模无关不能算进去。

五、常用的时间复杂度?

六、经典题目（非递归和递归代码比较）

6.1 计算1+2+3...+n的和

1.非递归方式
int getsum(int n)
{
   int res=0;
   for(int i=1;i<=n;i++)
   {
       res+=i;
   }
   return res;
}

2.递归方式
int getsum(int n)
{
    if(n==1)
      {
          return 1;
      }  
    else
      {
         return getsum(n-1)+n;
      }
}
  

分析：非递归方式：问题规模体现在形参上n

? ? ? ?时间复杂度：单层for循环，语句执行次数为n，所以时间复杂度为：O(n)

? ? ? ?空间复杂度：没有与问题规模相关额外开辟的内存 ，空间复杂度为O(1)

注：临时变量res和i都与问题规模无关，无论求和项数是多少，都只开这两个O(2)-----O(1)

递归总结分析：

? ? ? ?重点：递归就是函数自己调用自己，发生函数调用就会发生函数栈帧的开辟，每进行一次函数调用就会在内存上开辟一块内存，且需要注意，只有当函数调用完毕（函数语句执行完毕，得到确切的值，返回给被调函数，这块内存才会被释放！！！）

? ? ? ?

? ? ? ?递归的时间复杂度：函数的调用次数

? ? ? ?递归的空间复杂度：递归的深度（二叉树的深度）

分析：递归方式：问题规模体现在形参上n

? ? ? ?在这个问题上，函数调用次数与递归深度都相同，都与问题规模有关，因此，时间复杂度和空间复杂度都是O(n)

6.2?斐波那契数列（递归与非递归实现）-重点理解

1.非递归的方式
int Fib(int n)
{
	int a = 1;
	int b = 1;
	int c = 1;
	while(n>=3)
	{
		c = a + b;
		a = b;
		b = c;
	}
	return c;
}


2.递归的方式
int Fib(int n)
{
	if(n<=2)
	
		return 1;
	
	else
		return Fib(n - 1) + Fib(n - 2);
}

分析：非递归方式：问题规模体现在形参上n

? ? ? ?时间复杂度：单层while循环，语句执行次数为n-3+1=n-2，所以时间复杂度为：O(n)

? ? ? ?空间复杂度：没有与问题规模相关额外开辟的内存 ，空间复杂度为O(1)

分析：递归方式：问题规模体现在形参上n

? ? ? ?递归的时间复杂度：计算函数的调用总的次数

? ? ? ?递归的空间复杂度：递归的深度（二叉树的深度）

? ? ? ?注意：每一层的递归调用都会在栈上分配一块内存，有多少层递归调用就分配多少块相似的内存，所有内存加起来就是开辟的总的内存大小，同层占用一块内存！！?

6.3??二分查找算法（递归与非递归实现）-重点理解

1.非递归方式
int binarysearch(int* arr, int len, int val)
{
	assert(arr != NULL && len > 0);   //参数检验
	int left = 0, right = len - 1;
	while (left <= right)            //查找的条件
	{
		int midindex = (left + right) / 2;
		//面试进行优化，利用位运算更偏底层运行速度更快。
		//优化一：midindex = (left + right) >> 1; 
 
		// 提示：若: 数据量很大 [0,200] left=150,right = 160; -> 310，  有可能超出范围如何解决？ 算术运算符操作的数据范围只能在基本数据类型的范围之内
		//优化二：midindex = ((right - left)>>1) + left;
		if (arr[midindex] == val)
		{
			return midindex;
		}
		else if (arr[midindex] < val)
		{
			left = midindex + 1;
		}
		else
		{
			right = midindex - 1;
		}
	}
	return -1;
}



2.递归方式
int binarysearch0(int* arr, int len, int value, int left, int right)
{
	if (left > right)
		return -1;
	int midindex = (left + right) / 2;
	if (arr[midindex] == value)
	{
		return midindex;
	}
	else if (arr[midindex] > value)
	{
		return binarysearch0(arr, len, value, left, midindex - 1);
	}
	else
	{
		return binarysearch0(arr, len, value, midindex + 1, right);
	}
}
 
int binarysearch(int* arr, int len, int value)
{
	assert(arr != NULL);
	return binarysearch0(arr, len, value, 0, len - 1);
}

分析：非递归方式：问题规模体现在形参上len，数组长度不同，问题规模就不同

? ? ? ?时间复杂度：每次查找查找区间减半，所以减了多少次，代表语句执行的总次数，logn

? ? ? ?空间复杂度：没有与问题规模相关额外开辟的内存 ，空间复杂度为O(1)

分析：递归方式：问题规模体现在形参上查找的区间上，封装成函数。

? ? ? ?时间复杂度：每次查找查找区间减半，所以减了多少次，代表语句执行的总次数，logn

? ? ? ?空间复杂度：没有与问题规模相关额外开辟的内存 ，空间复杂度为O(1)

七、给定题目设计算法，同时给出时间复杂度和空间复杂度（未知代码）

这种题型求解思路如下：?

? ? ? ?时间复杂度：访问问题规模中的元素总个数

? ? ? ?空间复杂度：与问题规模相关额外开辟的内存空间，没有额外开辟跟问题规模相关的内存O(1)

? ? ? 以上便是我为大家带来的算法效率分析的内容，若有不足，望各位大佬在评论区指出，谢谢大家！可以留下你们点赞、收藏和关注，这是对我极大的鼓励，我也会更加努力创作更优质的作品。再次感谢大家！

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