【数值分析】非线性方程求根，牛顿法，牛顿下山法，matlab实现

4. 牛顿法

收敛时牛顿法的收敛速度是二阶的，不低于二阶。如果函数有重根，牛顿法一般不是二阶收敛的。
$$x_{k+1}=x_k?\frac{f(x_k)}{f^{\prime }(x_k)}$$
matlab实现

%% 牛顿迭代例子
f = @(x) x.^2-2;
g = @(x) 2.*x;
x = newton(f,g,2,1e-7,100)

%% 牛顿迭代
function x = newton(f,g,x_0,eps,max_iter)
    x0 = x_0;
    for i = 1:max_iter
        x = x0 - f(x0)/g(x0)
        if abs(x-x0)<eps
            break
        end
        x0 = x;
    end
end

5. 牛顿下山法

实际上是对每次迭代跳跃步长的修正，试着少条一点距离，看是否在下山。

matlab编程实现

%% 牛顿迭代例子
f = @(x) x.^2+sin(10*x)-1;
g = @(x) 2.*x+10*cos(10*x);
[x,i] = newtonD(f,g,30,1e-16,100)


%% 牛顿下山法
function [x,i] = newtonD(f,g,x_0,eps,max_iter)
    x0 = x_0;
    for i = 1:max_iter
        lbd = 1;
        x = x0 - f(x0)/g(x0)*lbd;
        while abs(f(x))>=abs(f(x0))
            lbd = lbd/2;
            x = x0 - f(x0)/g(x0)*lbd;
        end
        if abs(f(x))<eps
            break
        end
        x0 = x;
    end
end