排序链表[中等]

一、题目

给你链表的头结点head，请将其按 升序 排列并返回 排序后的链表 。

示例 1：

输入：head = [4,2,1,3]
输出：[1,2,3,4]

示例 2：

输入：head = [-1,5,3,4,0]
输出：[-1,0,3,4,5]

示例 3：**

输入：head = []
输出：[]

链表中节点的数目在范围[0, 5 * 104]内
-105 <= Node.val <= 105

进阶：你可以在O(n log n)时间复杂度和常数级空间复杂度下，对链表进行排序吗？

二、代码

要求使用插入排序的方法对链表进行排序，插入排序的时间复杂度是O(n^2)，其中n是链表的长度。这道题考虑时间复杂度更低的排序算法。题目的进阶问题要求达到O(nlog?n)的时间复杂度和O(1)的空间复杂度，时间复杂度是O(nlog?n)的排序算法包括归并排序、堆排序和快速排序（快速排序的最差时间复杂度是O(n^2)，其中最适合链表的排序算法是归并排序。

归并排序基于分治算法。最容易想到的实现方式是自顶向下的递归实现，考虑到递归调用的栈空间，自顶向下归并排序的空间复杂度是O(log?n)。如果要达到O(1)的空间复杂度，则需要使用自底向上的实现方式。

【1】自顶向下归并排序： 对链表自顶向下归并排序的过程如下。
1、找到链表的中点，以中点为分界，将链表拆分成两个子链表。寻找链表的中点可以使用快慢指针的做法，快指针每次移动2步，慢指针每次移动1步，当快指针到达链表末尾时，慢指针指向的链表节点即为链表的中点。
2、对两个子链表分别排序。
3、将两个排序后的子链表合并，得到完整的排序后的链表。

上述过程可以通过递归实现。递归的终止条件是链表的节点个数小于或等于1，即当链表为空或者链表只包含1个节点时，不需要对链表进行拆分和排序。

class Solution {
    public ListNode sortList(ListNode head) {
        return sortList(head, null);
    }

    public ListNode sortList(ListNode head, ListNode tail) {
        if (head == null) {
            return head;
        }
        if (head.next == tail) {
            head.next = null;
            return head;
        }
        ListNode slow = head, fast = head;
        while (fast != tail) {
            slow = slow.next;
            fast = fast.next;
            if (fast != tail) {
                fast = fast.next;
            }
        }
        ListNode mid = slow;
        ListNode list1 = sortList(head, mid);
        ListNode list2 = sortList(mid, tail);
        ListNode sorted = merge(list1, list2);
        return sorted;
    }

    public ListNode merge(ListNode head1, ListNode head2) {
        ListNode dummyHead = new ListNode(0);
        ListNode temp = dummyHead, temp1 = head1, temp2 = head2;
        while (temp1 != null && temp2 != null) {
            if (temp1.val <= temp2.val) {
                temp.next = temp1;
                temp1 = temp1.next;
            } else {
                temp.next = temp2;
                temp2 = temp2.next;
            }
            temp = temp.next;
        }
        if (temp1 != null) {
            temp.next = temp1;
        } else if (temp2 != null) {
            temp.next = temp2;
        }
        return dummyHead.next;
    }
}

时间复杂度： O(nlog?n)，其中n是链表的长度。
空间复杂度： O(log?n)，其中n是链表的长度。空间复杂度主要取决于递归调用的栈空间。

【2】自底向上归并排序： 使用自底向上的方法实现归并排序，则可以达到O(1)的空间复杂度。首先求得链表的长度length，然后将链表拆分成子链表进行合并。具体做法如下。
1、用subLength表示每次需要排序的子链表的长度，初始时subLength=1。
2、每次将链表拆分成若干个长度为subLength的子链表（最后一个子链表的长度可以小于subLength），按照每两个子链表一组进行合并，合并后即可得到若干个长度为subLength×2的有序子链表（最后一个子链表的长度可以小于subLength×2。合并两个子链表仍然使用「21. 合并两个有序链表」的做法。
3、将subLength的值加倍，重复第2步，对更长的有序子链表进行合并操作，直到有序子链表的长度大于或等于length，整个链表排序完毕。

如何保证每次合并之后得到的子链表都是有序的呢？可以通过数学归纳法证明。
1、初始时subLength=1，每个长度为1的子链表都是有序的。
2、如果每个长度为subLength的子链表已经有序，合并两个长度为subLength的有序子链表，得到长度为subLength×2的子链表，一定也是有序的。
3、当最后一个子链表的长度小于subLength时，该子链表也是有序的，合并两个有序子链表之后得到的子链表一定也是有序的。

因此可以保证最后得到的链表是有序的。

class Solution {
    public ListNode sortList(ListNode head) {
        if (head == null) {
            return head;
        }
        int length = 0;
        ListNode node = head;
        while (node != null) {
            length++;
            node = node.next;
        }
        ListNode dummyHead = new ListNode(0, head);
        for (int subLength = 1; subLength < length; subLength <<= 1) {
            ListNode prev = dummyHead, curr = dummyHead.next;
            while (curr != null) {
                ListNode head1 = curr;
                for (int i = 1; i < subLength && curr.next != null; i++) {
                    curr = curr.next;
                }
                ListNode head2 = curr.next;
                curr.next = null;
                curr = head2;
                for (int i = 1; i < subLength && curr != null && curr.next != null; i++) {
                    curr = curr.next;
                }
                ListNode next = null;
                if (curr != null) {
                    next = curr.next;
                    curr.next = null;
                }
                ListNode merged = merge(head1, head2);
                prev.next = merged;
                while (prev.next != null) {
                    prev = prev.next;
                }
                curr = next;
            }
        }
        return dummyHead.next;
    }

    public ListNode merge(ListNode head1, ListNode head2) {
        ListNode dummyHead = new ListNode(0);
        ListNode temp = dummyHead, temp1 = head1, temp2 = head2;
        while (temp1 != null && temp2 != null) {
            if (temp1.val <= temp2.val) {
                temp.next = temp1;
                temp1 = temp1.next;
            } else {
                temp.next = temp2;
                temp2 = temp2.next;
            }
            temp = temp.next;
        }
        if (temp1 != null) {
            temp.next = temp1;
        } else if (temp2 != null) {
            temp.next = temp2;
        }
        return dummyHead.next;
    }
}

时间复杂度： O(nlog?n)，其中n是链表的长度。
空间复杂度： O(1)。