Leetcode1143. 最长公共子序列

解题思路
求两个数组或者字符串的最长公共子序列问题，肯定是要用动态规划的。下面的题解并不难，你肯定能看懂。

首先，区分两个概念：子序列可以是不连续的；子数组（子字符串）需要是连续的；
另外，动态规划也是有套路的：单个数组或者字符串要用动态规划时，可以把动态规划 dp[i] 定义为 nums[0:i] 中想要求的结果；当两个数组或者字符串要用动态规划时，可以把动态规划定义成两维的 dp[i][j]?，其含义是在 A[0:i] 与 B[0:j]?之间匹配得到的想要的结果。
1. 状态定义
比如对于本题而言，可以定义 dp[i][j]?表示 text1[0:i-1] 和 text2[0:j-1]?的最长公共子序列。?（注：text1[0:i-1] 表示的是 text1 的 第 0 个元素到第 i - 1 个元素，两端都包含）
之所以 dp[i][j]?的定义不是 text1[0:i] 和 text2[0:j] ，是为了方便当 i = 0 或者 j = 0 的时候，dp[i][j]表示的为空字符串和另外一个字符串的匹配，这样 dp[i][j]?可以初始化为 0.

2. 状态转移方程
知道状态定义之后，我们开始写状态转移方程。

当 text1[i - 1] == text2[j - 1] 时，说明两个子字符串的最后一位相等，所以最长公共子序列又增加了 1，所以 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1；举个例子，比如对于 ac 和 bc 而言，他们的最长公共子序列的长度等于 a?和 b?的最长公共子序列长度 0 + 1 = 1。
当 text1[i - 1] != text2[j - 1]?时，说明两个子字符串的最后一位不相等，那么此时的状态 dp[i][j] 应该是 dp[i - 1][j] 和 dp[i][j - 1] 的最大值。举个例子，比如对于 ace?和 bc?而言，他们的最长公共子序列的长度等于 ① ace 和 b 的最长公共子序列长度0 与 ② ac 和 bc?的最长公共子序列长度1 的最大值，即 1。
综上状态转移方程为：

dp[i][j]=dp[i?1][j?1]+1dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1dp[i][j]=dp[i?1][j?1]+1, 当 text1[i?1]==text2[j?1];text1[i - 1] == text2[j - 1];text1[i?1]==text2[j?1];
dp[i][j]=max(dp[i?1][j],dp[i][j?1])dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])dp[i][j]=max(dp[i?1][j],dp[i][j?1]), 当 text1[i?1]!=text2[j?1]text1[i - 1] != text2[j - 1]text1[i?1]!=text2[j?1]
3. 状态的初始化
初始化就是要看当 i = 0 与 j = 0 时， dp[i][j]?应该取值为多少。

当 i = 0 时，dp[0][j] 表示的是 text1text1text1 中取空字符串 跟 text2text2text2 的最长公共子序列，结果肯定为 0.
当 j = 0 时，dp[i][0] 表示的是 text2text2text2 中取空字符串 跟 text1text1text1 的最长公共子序列，结果肯定为 0.
综上，当 i = 0 或者 j = 0 时，dp[i][j] 初始化为 0.

4. 遍历方向与范围
由于 dp[i][j] 依赖与 dp[i - 1][j - 1] , dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]，所以 iii 和 jjj 的遍历顺序肯定是从小到大的。
另外，由于当 iii 和 jjj 取值为 0 的时候，dp[i][j] = 0，而 dp 数组本身初始化就是为 0，所以，直接让 iii 和 jjj 从 1 开始遍历。遍历的结束应该是字符串的长度为 len(text1)len(text1)len(text1) 和 len(text2)len(text2)len(text2)。

5. 最终返回结果
由于 dp[i][j]?的含义是 text1[0:i-1] 和 text2[0:j-1] 的最长公共子序列。我们最终希望求的是 text1 和 text2 的最长公共子序列。所以需要返回的结果是 i = len(text1) 并且 j = len(text2) 时的 dp[len(text1)][len(text2)]。

?

代码如下：

class Solution {
    public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {
        int m = text1.length();
        int n = text2.length();
        int[][] dp = new int[m+1][n+1];
        for(int i = 1; i <= m;i++){
            for(int j = 1; j <= n;j++){
                if(text1.charAt(i-1) == text2.charAt(j-1)){
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1;
                }
                else{
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);
                }
                
            }
        }
        return dp[m][n];

    }
}

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