Channel Coding Theorem 证明

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对应于教材 Elements of Information Theory 的 8.7 章节.
在证明定理之前, 先复习一些背景知识, 包括 entropy, WLLN, AEP, joint AEP 和 DMC. 第二节为定理的声明和证明.

1. background

1.1 Entropies 熵

来自于书中的第二章
Entropy:
$$H(X)=?\sum _{x\in S_X}p(x)\log p(x)=?\mathbb{E}[\log p(x)]$$
衡量了一个随机变量的不确定程度/随机性 (uncertainty/ randomness)
Joint entropy 联合熵:
$$H(X,Y)=?\sum _{x\in S_X}\sum _{y\in S_Y}p(x,y)\log p(x,y)$$
同样地, $H(X,Y)$ 衡量的是 $X$ 和 $Y$ 联合的随机性.
Conditional entropy 条件熵:
$$H(Y|X)=\sum _{x\in S_X}p(x)H(Y|X=x)$$
$H(Y|X)$ 衡量的是给定 $X$ 后, $Y$ 的随机性.
Mutual information 互信息:
$$I(X;Y)=H(X)?H(X|Y)$$
是 $X$ 由于已知 $Y$ 而减少的“信息量”

1.2 Weak Law of Large Number(WLLN)

$X_1,...,X_n$ are i.i.d $～p(x)$, then

$$\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i\underset{\text{in?Prob.}}{\overset{n\to \infty }{\to }}\mathbb{E}[X]$$
即样本均值依概率收敛于期望值.

1.3 AEP: Asymptotic Equipartition Property

来自于书中的第3章
Thm. (AEP) If $X_1,...,X_n$ are i.i.d $～p(x)$, then
$$\begin{gathered} ?\frac{1}{n}\log p(X_1,...,X_n)\underset{\text{in?Prob.}}{\overset{n\to \infty }{\to }}H(X) \\ p(X_1,...,X_n)\underset{\text{in?Prob.}}{\overset{n\to \infty }{\to }}{2}^{?nH(X)} \end{gathered}$$
Typical set (典型集) 定义:
The typical set $A_{?}^{(n)}$ with respect to $p(x)$ is the set of sequences $(x_1,...,x_n)\in S_X^{(n)}$ with the property
$$2^{?n(H(X)+?)}\le p(x_1,...,x_n)\le 2^{?n(H(X)??)}$$
Typical set 有以下性质:

• If $(x_1,...,x_n)\in A_{?}^{(n)}$, then $H(X)??\le ?\frac{1}{n}p(x_1,...,x_n)\le H(X)+?$.
• Pr ? { A ? ( n ) } > 1 ? ? \Pr\{A_{\epsilon}^{(n)}\}>1-\epsilon Pr{A?(n)?}>1?? for $n$ sufficiently large.
• $|A_{?}^{(n)}|\le 2^{n(H(X)+?)}$.
• $|A_{?}^{(n)}|\ge (1??)2^{n(H(X)??)}$ for $n$ sufficiently large.

1.4 Joint AEP

来自于书中的8.6章节
Joint typical set 定义:
The set $A_{?}^{(n)}$ of jointly typical sequences $\{(x^n,y^n)\}$ with respect to $p(x,y)$ is the set of $n$-sequences with empirical entropies $?$-close to the true entropies:
$$\begin{gathered} A_{?}^{(n)}=\{(x^n,y^n)\in S_X^n\times S_Y^n: \\ |?\frac{1}{n}\log p(x^n)?H(X)|<?, \\ |?\frac{1}{n}\log p(y^n)?H(Y)|<?, \\ |?\frac{1}{n}\log p(x^n,y^n)?H(X,Y)|<?\} \end{gathered}$$

where $p(x^n,y^n)={\prod }_{i=1}^{n}p(x_i,y_i)$.
Thm.(Joint AEP) Let $(X^n,Y^n)$ be sequences of length $n$ drawn i.i.d. $～p(x^n,y^n)={\prod }_{i=1}^{n}p(x_i,y_i)$. Then,

• As $n\to \infty$, $\mathrm{Pr}\{(X^n,Y^n)\in A_{?}^{(n)}\}\to 1$

• $|A_{?}^{(n)}|\le 2^{n(H(X,Y)+?)}$
  $|A_{?}^{(n)}|\ge (1??)2^{n(H(X,Y)??)}$ for sufficiently large $n$
• If $({\tilde{X}}^n,{\tilde{Y}}^n)～p(x^n)p(y^n)$, then
  $\mathrm{Pr}\{({\tilde{X}}^n,{\tilde{Y}}^n)\in A_{?}^{(n)}\}\le 2^{?n(I(X;Y)?3?)}$
  $\mathrm{Pr}\{({\tilde{X}}^n,{\tilde{Y}}^n)\in A_{?}^{(n)}\}\le (1??)2^{?n(I(X;Y)+3?)}$ for sufficiently large $

1.5 Discrete Memoryless Channel (DMC) without feedback

来自于书中的8.5章节

一个消息 $W$ 首先被编码成长度为 $n$ 的序列 $X^n$, $X^n$ 是信道的输入, 信道是一概率转移矩阵 (probability transition matrix) $p(y|x)$, 这里的随机性是由于噪声, 信道的输出是 $Y^n$, $Y^n$ 随即被解码成 $\hat{W}$.

• Memoryless 表示 $p(y_k|x^k,y^{k?1})=p(y_k|x_k)$, 即输出的概率分布只依赖于此时刻 ($k$) 的输入, 与之前的输入输出条件独立.
• W/O Feedback 表示 $p(x_k|x^{k?1},y^{k?1})=p(x_k|x^{k?1})$, 即输入与之前的输出独立.
• 因此 channel transition function 可以化简为
  $$p(y^n|x^n)=\prod _{i=1}^{n}p(y_i|x_i)$$
  接下来是一些重要的定义:

1. An $(M,n)$ code for channel $(S_X,p(y|x),S_Y)$ consists of:
   An index set { 1 , 2 , . . . , M } \{1,2,...,M\} {1,2,...,M},
   An encoding function X n : { 1 , 2 , . . . , M } → S X n X^n:\{1,2,...,M\}\rightarrow S_X^n Xn:{1,2,...,M}→SXn?, yielding codewords $x^n(1),x^n(2),...,x^n(M)$. The set of codewords is called the codebook,
   A decoding function g : S Y n → { 1 , 2 , . . . , M } g: S_{Y}^n \rightarrow \{1,2,...,M\} g:SYn?→{1,2,...,M}, which is a deterministic function.
2. The information channel capacity:
   $$C=\underset{p(x)}{\max }I(X;Y)$$
3. Conditional probability of error:
   λ i = Pr ? { g ( Y n ) ≠ i ∣ X n = x n ( i ) } = ∑ y n : g ( y n ) ≠ i p ( y n ∣ x n ( i ) ) \lambda_i=\Pr\{g(Y^n)\neq i|X^n=x^n(i)\}=\sum_{y^n:g(y^n) \neq i} p(y^n|x^n(i)) λi?=Pr{g(Yn)=i∣Xn=xn(i)}=yn:g(yn)=i∑?p(yn∣xn(i))
4. The maximal probability of error ${\lambda }^{(n)}$ for an $(M,n)$ code:
   $${\lambda }^{(n)}=\underset{i\in 1,...,M}{\max }{\lambda }_i$$
5. The arithmetic average probability of error $P{e}^{(n)}$ for an $(M,n)$ code:
   $$P{e}^{(n)}=\frac{1}{M}\sum _{i=1}^M{\lambda }_i$$
6. The rate $R$ for an $(M,n)$ code:
   $$R=\frac{\log M}{n}$$
   单位是 bits/ch. use

2. Channel Coding Theorem

来自于书中的8.7章节
For a discrete memoryless channel, all rates below capacity $C$ are achievable. Specifically, for every rate $R<C$, there exists a sequence of $(2^{nR},n)$ codes with maximum probability of error ${\lambda }^{(n)}\to 0$ as $n\to \infty$.
Conversely, any sequence of $(2^{nR},n)$ codes with ${\lambda }^{(n)}\to 0$ must have $R\le C$.
针对 DMC, 定理说明了两件事: 1. Achievability: 如果 $R$ 小于信道容量 $C$, 那么存在一种编码技术使${\lambda }^{(n)}$任意小, 也就是说接收端收到的错误达到任意小的数值; 2. Converse: 任何无错编码技术一定满足 $R\le C$.

2.1 证明 Achievability:

固定 $p(x)$, 首先分析根据 $p(x)$ 随机生成一个 $(M,n)$ code 的概率, 这等价于根据 $p(x^n)={\prod }_{i=1}^{n}p(x_i)$ 独立生成 $2^{nR}$ 个 codewords, 这 $2^{nR}$ 个 codewords即为 codebook $B$. (编码簿)
如果把这个 codebook 写作一个 $2^{nR}\times n$ 的矩阵:
$$B=\left[\begin{array}{cccc}{x}_1(1)& x_2(1)& ...& x_n(1)\\ ...& ...& ...& ...\\ x_1(2^{nR})& x_2(2^{nR})& ...& x_n(2^{nR})\end{array}\right]$$
每行即为 codewords, 如第一行为 $x^n(1)$, 是消息 $1$ 的 codeword, 且 $p(x^n(1))={\prod }_{i=1}^{n}p(x_i(1))$.
所以, 生成 $B$ 的概率为
$$\mathrm{Pr}(B)=\prod _{w=1}^{2^{nR}}\prod _{i=1}^{n}p(x_i(w))$$
考虑以下事件:

1. 根据上述概率公式生成一个随机的 codebook $B$.
2. 向发送端 Tx 和接收端 Rx 揭示 B, 假设 Tx 和 Rx 已知信道 $p(y|x)$.
3. (均匀)随机选择一个消息 $w$:
   p ( W = w ) = 2 ? n R , w ∈ { 1 , . . . , 2 n R } p(W=w)=2^{-nR}, w\in\{1,...,2^{nR}\} p(W=w)=2?nR,w∈{1,...,2nR}
4. 通过信道传送 $w$.
5. 接收端 Rx 根据 $p(y^n|x^n(w))={\prod }_{i=1}^{n}p(y_i|x_i(w))$ 接收到长度为 n 的序列 $Y^n$
6. 如果下列两个条件成立, 则接收端 Rx 输出 $\hat{w}$:
   a) $(x^n(\hat{w}),y^n)\in A_{?}^{(n)}$ .
   b) 没有其他的 index $k$ 满足 $(x^n(k),y^n)\in A_{?}^{(n)}$ .
   如果不存在这样的 $\hat{w}$ 或者不只有一个这样的 $\hat{w}$, 那么报错.
7. 如果 $\hat{w}\ne w$, 报错.

接下来分析报错的概率 $\mathrm{Pr}(e)$:

令 $E_i=\{(X^n(i),Y^n)\in A_{?}^{(n)}\}$, 其中 $Y^n$ 为信道对$X^n(1)$的输出, 因为假设了传递的消息 $w=1$.
根据6(a), 6(b) 和 7的描述可知, 当传递的codeword与接收到的序列不 jointly typical 时 (等价于 $E_1^C$), 或一个错误的 codeword与接收到的序列是 jointly typical 时(等价于 $E_2\cup E_2\cup ...\cup E_{2^{nR}}$), 错误产生. 所以:
$$\mathrm{Pr}(e)=\mathrm{Pr}(e|W=1)=\mathrm{Pr}(E_1^C\cup E_2\cup E_3\cup ...\cup E_{2^{nR}}|W=1)$$
根据union bound, 上式满足
$$\le \mathrm{Pr}(E_1^C|W=1)+\sum _{i=2}^{2^{nR}}\mathrm{Pr}(E_i|W=1)$$
根据 joint AEP 的第一条性质, 对于足够大的 n 有 $\mathrm{Pr}(E_1^C|W=1)\le ?$.
根据 joint AEP 的最后一条性质, 对于足够大的 n 有 $\mathrm{Pr}(E_i|W=1)\le 2^{?n(I(X;Y)?3?)}$, 带入上式
$$\begin{gathered} \le ?+(2^{nR}?1)2^{?n(I(X;Y)?3?)} \\ \le ?+2^{?n(I(X;Y)?3??R)} \end{gathered}$$
当 n 足够大且 $R<I(X;Y)?3?$ 时, 上式满足
$$\le 2?$$
目前已经证明了当$R<I(X;Y)?3?$ 时, 我们可以选择合适的 $n$ 和 $?$ 令平均错误率 $P{e}^{(x)}$ 小于等于 $2?$. 这里的平均是在所有的 codewords 和所有的 codebook 上的平均, 正如图片中的 sum over B 和 sum over w.
但是此时只得到了平均错误率的上界, 无法得出定理中的结论, 接下来推最大错误率 ${\lambda }^{(n)}$ 的上界.
再次考虑以下事件:

1. 选择 $p(x)=p^{?}(x)$, $p^{?}(x)$ 为令 $I(X;Y)$ 最大的输入分布, 也就是 $p^{?}(x)$ 是实现通道容量的那个分布.
   所以上面的条件 $R<I(X;Y)?R<C$ .
2. 选择一个平均错误率最小的 codebook $B?$, 所以
   $$\mathrm{Pr}(e|B?)=\frac{1}{2^{nR}}\sum _{i=1}^{2^{nR}}{\lambda }_i(B?)\le 2?$$
3. 移除 $B^{?}$ 中最差的那半 codewords, 将剩余部分记为 $B^{??}$, 由于平均错误率小于等于 $2?$ 且 概率是非负的, 所以$B^{??}$的最大错误率一定小于等于$4?$, 否则上一条中的不等式将不成立.

Achievability 证明完毕.

其中, 移除一半codewords 令 index set 减少一半, 即
$$2^{nR}\to 2^{nR}\times \frac{1}{2}=2^{n(R?\frac{1}{n})}$$
速率 R 只减少了 $\frac{1}{n}$, 且当 n 很大时, 对 R 几乎无影响.

2.2 证明 Converse:

来自于书中的8.8 - 8.10章节
未完待续