加法器原理详解
加法器的介绍与原理分析
什么是加法器？
加法器是一种数字电路，用于将两个二进制数相加并输出它们的和。
如何实现加法器
要讨论如何实现加法器就要先从只有一位的数字先进行考虑
一位二进制数相加
不考虑来自低位的进位——半加器
对于一位二进制数相加，由于是二进制有可能要进位也可能不需要进位，根据具体的情况如下图所示：
没有进位的话，把进位补上0：
转化为列表如下：
| 数字A | 数字B | 输出S | 进位CO |
|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
对于一位数字的话我们使用A表示第一个数字，B表示第二个数字，S表示加和之后的当前位的和，CO表示向高位的进位，使用逻辑函数式那么
S
=
A
B
′
+
A
′
B
??
(
异或操作
)
C
O
=
A
B
??
(
与操作
)
\begin{align} S &= AB'+A'B\ \ (异或操作)\\ CO &= AB \ \ (与操作)\end{align}
SCO?=AB′+A′B??(异或操作)=AB??(与操作)??
也就是说对于一位二进制数的加法，我们可以使用异或操作跟与操作求出加法结果。
逻辑电路如图所示：
这样可以根据灯的亮灭判断到底输出了什么。
这样组成的期间就是半加器，但是半加器并没有考虑来自低位的进位，所以它的功能是不完善的。
考虑来自低位的进位——全加器
如果考虑到来自低位的进位那么输入就会有三个分别是数字A、数字B与进位CI。
相加的过程中我们可以看作先将数字A与数字B相加，相加得到的加和再与进位CI相加，即全加器由两个半加器组成。
真值表为：
| 数字A | 数字B | 进位CI | 数字S | 进位CO |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
根据真值表可以得到以下逻辑函数式
S
=
A
B
′
C
I
′
+
A
′
B
C
I
′
+
A
′
B
′
C
I
+
A
B
C
I
C
O
=
A
B
C
I
′
+
A
′
B
C
I
+
A
B
′
C
I
+
A
B
C
I
\begin{align} S &= AB'CI'+A'BCI'+A'B'CI+ABCI\\ CO &= ABCI'+A'BCI+AB'CI+ABCI \end{align}
SCO?=AB′CI′+A′BCI′+A′B′CI+ABCI=ABCI′+A′BCI+AB′CI+ABCI??
将逻辑表达式进行化简得到
S
=
C
I
′
(
A
B
′
+
A
′
B
)
+
C
I
(
A
′
B
′
+
A
B
)
S
=
C
I
′
(
A
B
′
+
A
′
B
)
+
C
I
(
A
B
′
+
A
′
B
)
′
S
=
C
I
′
(
A
?
B
)
+
C
I
(
A
?
B
)
′
S
=
C
I
?
A
?
B
C
O
=
A
B
(
C
I
′
+
C
I
)
+
C
I
(
A
′
B
+
A
B
′
)
C
O
=
A
B
+
C
I
(
A
?
B
)
C
O
=
A
B
C
I
′
+
A
′
B
C
I
+
A
B
′
C
I
+
A
B
C
I
\begin{align} S &= CI'(AB'+A'B)+CI(A'B'+AB)\\ S &= CI'(AB'+A'B)+CI(AB'+A'B)'\\ S &= CI'(A\bigoplus B) + CI(A\bigoplus B)'\\ S &= CI\bigoplus A\bigoplus B\\ CO &= AB(CI'+CI)+CI(A'B+AB') \\ CO &= AB + CI(A\bigoplus B)\\ CO &= ABCI'+A'BCI+AB'CI+ABCI\\ \end{align}
SSSSCOCOCO?=CI′(AB′+A′B)+CI(A′B′+AB)=CI′(AB′+A′B)+CI(AB′+A′B)′=CI′(A?B)+CI(A?B)′=CI?A?B=AB(CI′+CI)+CI(A′B+AB′)=AB+CI(A?B)=ABCI′+A′BCI+AB′CI+ABCI??
最终我们得到的逻辑函数式为:
S
=
C
I
?
A
?
B
C
O
=
A
B
+
C
I
(
A
?
B
)
\begin{align} S &= CI\bigoplus A\bigoplus B\\ CO &= AB + CI(A\bigoplus B)\\ \end{align}
SCO?=CI?A?B=AB+CI(A?B)??
转化为电路图为：
这样我们就得到了一个全加器。
有了半加器与全加器，就能着手实现二进制加法了。
四位二进制加法器
最低位相加是不需要考虑进位的，所以使用半加器就行，当然使用全加器也可以只不过进位CI要置零。
现在就着手实现四位二进制数加法器：
多位加法器的原理就是，有多个一位加法器组成，每个一位加法器负责多位中的一位的运算，运算的结果需要进位到下一位，然后下一位求出结果，很明显这是一种
电路图如下:
如图所示，但是此加法器是一种串联的结构，进行运算时高位需要等待低位求出运算结果才能得到高位的结果，也就是花费的时间比较多，有没有办法在进行低位运算的同时进行高位的运算。
超前进位四位加法器
如果我们不再使用先算低位进位，然后再算高位，而是直接根据低位数字直接算出应该到高位的进位，这样就能将串行结构改成并行结构，这样就能够大大减少运算所需的时间。
这样我们就能够将结构改成下面的样子：
从图中我们可以看出是根据原始输入计算的进位，而不是一位一位进行计算的进位，这样每一位数字就可以同时计算，这样就可以在一个时钟周期内完成加法运算。
但是这一个明显优缺点，到后面计算进位的电路越来越复杂。
至此关于加法器的原理就讲完了。
注：如果电路图，或者逻辑函数式有写错的，请在评论区@我，我会尽快修改的。
multisim电路仿真图可以在我的GitHub的项目中下载：电路仿真图
如果有什么地方讲的不好或者讲错的地方欢迎大家指出来，如果我所讲的对你们有帮助不要忘了点赞、收藏、关注哦！
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