李沐《动手学深度学习》多层感知机 模型概念和代码实现

系列文章

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李沐《动手学深度学习》预备知识 线性代数及微积分
李沐《动手学深度学习》线性神经网络 线性回归
李沐《动手学深度学习》线性神经网络 softmax回归

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教材：李沐《动手学深度学习》

一、多层感知机

（一）隐藏层（提出原因、方式、多层感知机）

1. 隐藏层的提出原因——线性模型可能会出错
   线性意味着单调假设，但是现实生活中存在许多违反单调性的情况：

   • 根据体温预测死亡率：对体温高于37摄氏度的人来说，温度越高风险越大；对体温低于37摄氏度的人来说，温度越高风险就越低。
   • 对猫和狗的图像进行分类：倒置图像后依然保留类别。

2. 隐藏层的最简单方式：将许多全连接层堆叠在一起
   多层感知机架构：将许多全连接层堆叠在一起，每一层都输出到上面的层，直到生成最后的输出。

   • 4个输入，3个输出，隐藏层包含5个隐藏单元；
   • 输入层不涉及任何计算，只需要实现隐藏层和输出层的计算，因此层数为2；
   • 该MLP的两个层都是全连接的，每个输入都会影响隐藏层中的每个神经元， 而隐藏层中的每个神经元又会影响输出层中的每个神经元；
   • 多层感知机可以通过隐藏神经元，捕捉到输入之间复杂的相互作用。
     

3. 多层感知机在输出层和输入层之间增加一个或多个全连接隐藏层，并通过激活函数转换隐藏层的输出。

（二）激活函数（ReLU、sigmoid、tanh）

1. 激活函数的概念
   • 作用：实现线性到非线性的飞跃；
   • 激活函数通过计算加权和并加上偏置来确定神经元是否应该被激活， 它们将输入信号转换为输出的可微运算；
   • 大多数激活函数都是非线性的。
2. ReLU函数
   • 修正线性单元（Rectified linear unit，ReLU）
   • 给定元素$x$，ReLU函数定义为该元素与0的最大值:
     $$ReLU(x)=max(x,0)$$
   • ReLU函数是分段线性的，仅保留正元素丢弃负元素。

ReLU函数：

x = torch.arange(-8.0, 8.0, 0.1, requires_grad=True)
y = torch.relu(x)
d2l.plot(x.detach(), y.detach(), 'x', 'relu(x)', figsize=(5, 2.5))

ReLU函数的导数： 输入为负时，导数为0；输入为正时，导数为1。

y.backward(torch.ones_like(x), retain_graph=True)
d2l.plot(x.detach(), x.grad, 'x', 'grad of relu', figsize=(5, 2.5))

ReLU求导后：要么让参数消失，要么让参数通过。 这使得优化表现得更好，并且ReLU减轻了困扰以往神经网络的梯度消失问题。

3. sigmoid函数
   • sigmoid函数将一个定义域在R中的输入变换为区间(0,1)上的输出；
   • sigmoid也被称为挤压函数，将范围(-inf,inf)中的任意输入压缩到(0,1)中的某个值：
     $$sigmoid(x)=\frac{1}{1+exp(?x)}$$
   • sigmoid是一个平滑的、可微的阈值单元近似；
   • 将输出视作二元分类问题的概率时，sigmoid被广泛用作输出单元上的激活函数；
   • sigmoid在隐藏层中已经较少使用，在大部分时候被更简单、更容易训练的ReLU取代。

sigmoid函数：

y = torch.sigmoid(x)
d2l.plot(x.detach(), y.detach(), 'x', 'sigmoid(x)', figsize=(5, 2.5))

sigmoid函数的导数：
$$\frac{d}{dx}sigmoid(x)=\frac{exp(?x)}{(1+exp(?x){)}^2}=sigmoid(x)(1?sigmoid(x))$$
当输入为0时，sigmoid函数的导数达到最大值0.25，输入在任一方向越远离0点时，导数越接近0。

# 清除以前的梯度
x.grad.data.zero_()
y.backward(torch.ones_like(x),retain_graph=True)
d2l.plot(x.detach(), x.grad, 'x', 'grad of sigmoid', figsize=(5, 2.5))

4. tanh函数
   • 与sigmoid函数类似， tanh(双曲正切)函数也能将其输入压缩转换到区间(-1, 1)上：
     $$tanh(x)=\frac{1?exp(?2x)}{1+exp(?2x)}$$
   • 输入为0附近时，tanh函数接近线性变换；
   • tanh函数形状类似于sigmoid函数，不同的是tanh函数关于坐标系原点中心对称。

tanh函数：

y = torch.tanh(x)
d2l.plot(x.detach(), y.detach(), 'x', 'tanh(x)', figsize=(5, 2.5))

tanh函数的导数：
$$\frac{d}{dx}tanh(x)=1?tan{h}^2(x)$$
当输入接近0时，tanh函数的导数接近最大值1，输入在任一方向越远离0点时，导数越接近0。

# 清除以前的梯度
x.grad.data.zero_()
y.backward(torch.ones_like(x),retain_graph=True)
d2l.plot(x.detach(), x.grad, 'x', 'grad of tanh', figsize=(5, 2.5))

二、多层感知机的从零开始实现

（一）导入数据和相关库

导入相关库，设置批量大小为256，调用load_data_fashion_mnist函数获取数据集

import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

batch_size = 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size)

（二）初始化模型参数

• 用张量表示参数；
• 对每一层记录一个权重矩阵和一个偏置向量；
• 为损失关于这些参数的梯度分配内存。

num_inputs, num_outputs, num_hiddens = 784, 10, 256

W1 = nn.Parameter(torch.randn(
    num_inputs, num_hiddens, requires_grad=True) * 0.01)
b1 = nn.Parameter(torch.zeros(num_hiddens, requires_grad=True))
W2 = nn.Parameter(torch.randn(
    num_hiddens, num_outputs, requires_grad=True) * 0.01)
b2 = nn.Parameter(torch.zeros(num_outputs, requires_grad=True))

params = [W1, b1, W2, b2]

（三）模型构建

1. ReLU激活函数

def relu(X):
    a = torch.zeros_like(X)
    return torch.max(X, a)

2. 模型实现

隐藏层数目和隐藏单元数视为超参数，一般选择2的若干次幂为层的宽度， 因为内存在硬件中的分配和寻址方式，这么做往往可以在计算上更高效。

• 输入：将28x28=784的灰度像素图像展平
• 中间层：选择实现一个具有单隐藏层的多层感知机，包含256个隐藏单元
• 输出：10个类别

def net(X):
    X = X.reshape((-1, num_inputs))
    H = relu(X@W1 + b1)  # 这里“@”代表矩阵乘法
    return (H@W2 + b2)

（四）损失函数

在李沐《动手学深度学习》线性神经网络 softmax回归中实现了交叉熵损失函数，因此这里直接使用高级API中的内置函数计算softmax和交叉熵损失。

loss = nn.CrossEntropyLoss(reduction='none')

（五）训练

多层感知机的训练过程与softmax回归的训练过程完全相同。 可以直接调用d2l包的train_ch3函数， 将迭代周期数设置为10，并将学习率设置为0.1：

num_epochs, lr = 10, 0.1
updater = torch.optim.SGD(params, lr=lr)
d2l.train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, updater)

为了对学习到的模型进行评估，在测试数据上应用这个模型：

三、多层感知机的简洁实现

1. 导入相关库

import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

2. 模型构建

• 展平层：调整网络输入的形状
• 全连接层/线性层：输入784，输出256
• ReLU激活
• 全连接层/线性层：输入256，输出10

net = nn.Sequential(nn.Flatten(),
                    nn.Linear(784, 256),
                    nn.ReLU(),
                    nn.Linear(256, 10))

def init_weights(m):
    if type(m) == nn.Linear:
        nn.init.normal_(m.weight, std=0.01)

net.apply(init_weights);

3. 训练

batch_size, lr, num_epochs = 256, 0.1, 10
loss = nn.CrossEntropyLoss(reduction='none')
trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=lr)

train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size)
d2l.train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, trainer)