概率大揭秘：深度复习概率论，事半功倍的学霸秘籍！

第一章 ? 概率论的基本概念

一、事件及其关系与运算 ?

?1、样本空间、样本点、随机事件、必然事件、不可 能事件、基本事件和复合事件的概念；

?2、事件的包含与相等：若事件A包含事件B，则B的发生必然导致A的发生。进而有P(AB)=P(B)，P(AUB)=P(A) ? ?

3、和事件：A、B至少有一个发生的事件，即AUB ? ?

4、积事件：A、B同时发生的事件，即AB ? ?

5、互斥事件：A、B不能同时发生的事件，即满足AB=φ，也称互不相容事件。

?6、对立事件：满足条件AB=Φ而且A∪B=S，A的对立事件 用A ?表示，A ?=S-A；对立事件一定是互不相容事件。 ? ?

7、差事件：A发生B不发生的事件称为A与B的差事件，表示为A-B或 ? ?

8、常用运算式：

二、事件的概率及其计算 ? ? ?

1、概率的公理化定义，规定了概率要满足的三 个条件：

（1）P(A)≥0，即非负性；

（2）P(S)=1，即规范性；

（3）两两互不相容事件的和的概率等于事件 的概率之和，即概率的可加性。

2、概率的性质

（1）对于任一事件A，有P(A ?)=1-P(A);

（2）P(Φ)=0;

（3）若B包含A，则有P(B-A)=P(B)-P(A)，而 且P(B)≥P(A)；

（4）对任一事件A，有P(A)≤1；

（5）对任意两个事件A、B有 ?P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)， 该式称为概率的加法公式。

（6）【概率减法公式】P(A-B)=P(A)-P(AB)

当B?A时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当A=Ω时，P(B)=1- P(B)。

?3、古典概率计算：P(A)=K/N=事件A包含的样本点数/样本空间S包含的样本点数

?4、条件概率的定义： 当P(B)>0时，有P(A/B)=P(AB)/P(B)

?5、乘法定理： 计算事件之积的概率公式 设P(A)>0，则有P(AB)=P(A)P(B/A)

?6、全概率公式：设S为试验E的样本空间，B1，B2，···Bn为S的一个划分，A为E的事件，且 ? ? ? ? ? ?P(Bi)>0(i=1,2,3···n)，则有 ? ?

7、贝叶斯公式：实质为一条件概率

设S为试验E的样本空间，B1，B2，···Bn为S的一个划分，A为E的事件，且P(Bi)>0(i=1,2,3···n)，P(A)>0，则有??

满足全概率公式和贝叶斯公式的前提是“完备事件群”。?
满足 ：BiBj=?(i≠j)B1+B2+?=Ω

这样的一组事件称为一个“完备事件群”。简而言之，就是事件之间两两互斥，所有事件的并集是整个样本空间（必然事件）。

三、事件的独立性

1、独立性的定义：设A、B为两事件，如果有P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A和事件B相互独立。

2、推论

（1）若A与B独立，则有A ?与B，A与B ?，A ?与B ?也相互独立；

（2）若A、B互斥，且P(A)>0，P(B)>0，则A与B不独立；

（3）若A、B独立，且P(A)>0，P(B)>0，则A与B不互斥；

（4）样本空间中，S与Φ既独立又互斥；

（5）Φ与任何事件都独立且互斥。

第二章 随机变量及其分布

一、随机变量的定义

设E的样本空间为S={e}，X=X{e}是定 义在样本空间上的实值单值函数，称X=X{e}为随机变量， 记为R.V。R.V一般用大写的字母X、Y、Z等表示，而小 写的x、y、z用来表示R.V所取的值。

二、离散型随机变量 ??

?1、离散型R.V的定义：R.V的全部可能取值是有限个 或可列无限多个。 ??

?2、离散型R.V的分布律：P{X=xk}=pk，k=1,2,3··· ?? ?

3、分布律的性质：pk≥0，

三、三种重要的离散型随机变量的分布律

1、（0—1）分布，记为X～(0，1) ?? ?

，其中k=0,1，0<p<1。

2、二项分布，记为X～B(n,p)

（1）伯努利试验：试验E只有两种可能的结果，A和A ?。 令A发生的概率为p。

（2）n重伯努利试验：将试验E独立地重复进行n次。

（3）定义R.V X为N重伯努利试验中A发生的次数，则有 ??

3、泊松分布，记为X～π(λ)

（1）泊松分布的定义：，k=0,1,2···

（2）泊松定理：当二项分布中n很大，p很小时，可以用泊松分布来近似二项分布，泊松分布中的 参数λ=np。

? 四、R.V的分布函数 ?? ?

1、分布函数的定义：F(x)=P{X≤x}，其中X是随机变量，x是实数参变量.

由定义可P{a<X≤b}=F(b)-F(a)?? ??? ? ?? ?

2、分布函数的性质：F（x）是一个不减函数，0≤F(x)≤1，F（x）右连续。

五、连续性随机变量

1、，其中f(x)为随机变量X的概率密度 函数。

2、概率密度的性质：f(x)≥0，，，

若f(x)在x处连续，则有f(x)=F′(x).

3、连续型随机变量X取任一指定值的概率为0，即? P{X=a}=0，其中a为任意实数。

4、对于连续性随机变量X，有P{a≤X≤b}=P{a<X≤b}=P{a<X<b}=P{a≤X<b}.

六、三种重要的连续性随机变量

1、均匀分布，记为X～U（a,b），概率密度为?

2、指数分布，记为X～E(θ),概率密度为

?3、正态分布，也称为高斯分布，记为X～N(ｕ，σ2)

（1）正态分布的概率密度，-∞<x<∞， 其中u可取任意实数,σ取大于0的实数。

（2）正态曲线关于x=u对称。

（3）当x=u时，f(x)取到最大值，即f(u)=1/σ√2π。

（4）u决定了正态曲线的中心位置，称为位置参数；σ 决定了正态曲线的中峰陡峭程度，称为尺度参数。

（5）标准正态分布： ? ? ? ? ? ?

?u=0，σ=1的正态分布称为标准正态分布， 即X～N(0，1).

（6）标准正态分布的密度函数为 标准正态分布的分布函数为

φ(x)可通过标准正态分布函数表查表得到。

（7）正态分布转化为标准正态分布的方法（必会）： 因此有F（x）=P（X≤x）=φ（x?u/σ）； P（x1<X≤x2）=φ（x_1?u/σ）-φ（x_2?u/σ）

（8）上α分位点：设X～N(0，1),若z_α满足条件? P{X>zα}=α,0<α<1，则称z_α为标准正态分布的上α 分位点。

七、随机变量的函数的分布 ? ?

1、离散型随机变量函数的分布 若X的分布律为，

则Y=g(X)的分布律为 ，

若g(xk)中有一些取值相同，则把它们的概率相加。

?2、连续型随机变量的函数的分布 ? ?

问题的提法：已知X的概率密度为f(x)，求Y=g(X)概率密度。 ? ?

做法1（针对g(X)为严格单调时）：设Y的分布函数为FY(y)，则有FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}=P{X≤h(y)}=FX(h(y))， 其中h(y)为y=g(x)的反函数。然后FY(y)对y求导，即得 Y的概率密度f(y)。 ? ?

定理：若函数g(x)处处可导且g(x)的倒数恒大与0或恒小于0，则有以下结论： ? ? ? ? ? ? ? f(y)=fX[h(y)]|h/(y)|，其中h(y)为y=g(x)的反函数。

做法2（分布函数法）【必会】连续型随机变量函数的分布的求法，通常是采用分布函数的定义的方法。我们将分布函数变形，将它化成关于?的分布函数，然后对?y 求导，就得到了?Y?的概率密度。

第三章 多维随机变量及其分布

一、二维随机变量的定义 ? ? ? ?

设E是一个随机试验，它的样本空间是S={e}，设X=X{e}和Y=Y{e}是定义在S上的随机变量，由它们构成的一个向量(X,Y)称为二维随机变量。

二、二维R.V的分布函数 ? ? ? ?

1、定义：F（x,y）=P{X≤x,Y≤y}，也称为联合分布函数。?? ? ?? ???

?P{a<X≤b,c<Y≤d}=F(b,d)-F(b,c)-F(a,d)+F(a,c) ? ? ?

2、性质 ? ? ? ?

（1）F（x,y）是变量x和y的不减函数。

（2）0≤F（x,y）≤1，F(-∞,y)=0，F(x,-∞)=0，F(-∞,-∞)=0，F(∞,∞)=1 ? ? ? ?

（3）F（x,y）关于x和y右连续

三、离散型二维随机变量 ? ? ?

1、定义：二维R.V的所有可能取值是有限对或可 列无限多对。 ? ? ?

2、分布律：P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,3······也称联合分布律

四、连续型二维随机变量 ? ? ?

1、定义：存在非负函数f(x,y)，有， 其中f(x,y)称为二维随机变量（X,Y）的概率密度。

2、二维概率密度函数f(x,y)的性质

（1）f(x,y)≥0

（2）【必知】

（3）若f(x,y)在（x,y）处连续，则有

（4）设G是xoy平面上的一个区域，点（X,Y）落 在区域G内的概率为 ，积分区域为G。

五、边缘分布

1、边缘分布函数：已知联合分布函数F（x,y）

X的边缘分布函数为：FX(x)=P{X≤x}=P{ X≤x,Y≤∞}=F(x,∞) ? ? ?

?Y的边缘分布函数为：FY(y)=P{Y≤y}=P{ X≤∞,Y≤y}=F(∞,y)

2、离散型二维R.V的边缘分布律：已知联合分布律pij X的边缘分布律为：? ? ?

Y的边缘分布律为：

3、连续型二维R.V的边缘概率密度：已知联合概率密度f(x,y)? ?【必会】?

X的边缘概率密度为：

Y的边缘概率密度为：

六、条件分布 ?

1、离散型R.V的条件分布分布律 ?

（1） 若P{Y=yi}>0，则在Y=yi 条件下X的条件分布律为

P{ X=xi| Y=yi}= P{X=xi,Y=yj}/ P{Y=yi}=pij/p.j，i=1,2··· ?

（2）若P{X=xi}>0，则在X=xi 条件下Y的条件分布律为

P{ Y=yi | X=xi }= P{X=xi,Y=yj}/ P{ X=xi }=pij/ pi.，j=1,2··· ?

2、连续型R.V的条件概率密度 ? ?

（1）若fY（y）>0，在Y=y条件下X的条件概率密度为 ? ?

（2）若fX（x）>0，在X=x条件下Y的条件概率密度为??

（3）综合来说，条件分布=联合分布/边缘分布

3、二维R.V的均匀分布的定义

设G是平面上的有界区域，其面积为A，若其联合概率密度为 ，

则称（X,Y）在G上服从均匀分布。

七、相互独立的随机变量 ?

1、定义：设F（x,y）及FX(x)、FY(y)分别是二维R.V(X,Y)的联合分布函数和边缘分布函数，若对于所有的x,y，有 ? ?

?F（x,y）= FX(x)·FY(y)，则称R.V X和Y是相互独立的。

?2、对于连续型随机变量，有f（x,y）= fX(x)·fY(y)

?3、对于离散型随机变量，有P{X=xi,Y=yj}= P{X=xi}·P{Y=yi} ?

4、二维正态随机变量：? ? ? ?

?两个边缘分布为 ? ? ? ? ?

当ρ=0时，X和Y相互独立；若X和Y相互独立，则ρ=0.

八、两个随机变量函数的分布

1、Z=X+Y的分布 已知（X,Y）的联合概率密度为f(x,y)，则Z的概率密度为 ；

若X和Y相互独立，则Z的概率密度为

；

2、关于随机变量之和的分布的几个结论

（1）设X和Y相互独立，且X～N(ｕ1, σ12)，Y～N（ｕ2，σ22），则Z=X+Y仍服从正态分布， 且.

（2）若Xi～N(ｕi, σi2)，i=1,2···且它们相互独立，则它们的和服从正态分布，

且有

（3）设X和Y相互独立，且X～π(λ1)，Y～π(λ2)，则Z=X+Y～π(λ1+λ2).

（4）设X和Y相互独立，且X～b(n,p)，Y～b(n,p)，则 Z=X+Y～b(2n,p)

3、M=max(X,Y)和N=min(X,Y)的分布函数?? ? ? ? ? ?

（1） 设X、Y相互独立，其分布函数分别为FX(x)、FY(y)，则【必知】

? ? ? ? ?

上述结论可以推广到n个相互独立的随机变量的情况。 ? ? ?

?（2）若?相互独立且均服从参数为θ的指数分布，定义，则Z服从参数为θ/n 的指数分布。

第四章 随机变量的数字特征

一、随机变量的数学期望的定义

1、离散型随机变量X，其分布律为P{X=xk}=pk，k=1,2,3···若级数绝对收敛，则称该级数的和为R.V X的数学期望，记为。

2、连续型随机变量X，其概率密度为f(x),若积分绝对收敛，则称该积分值为随机变量X的数学期望，记为。【必知】

二、随机变量的函数的数学期望

设Y为随机变量X的函数，Y=g(X)，其中g是连续函数 ? ?

1、已知离散型随机变量X，其分布律为P{X=xk}=pk， k=1,2,3···则Y的数学期望为

2、已知连续型随机变量X，其概率密度为f(x)，则Y的数学期望为

结论：不必知道Y的概率分布，可以通过X的概率分布求Y的 数学期望。

以上结论可以推广到求取二维随机变量的函数的数学期望， 已知条件为二维随机变量的联合概率分布。

三、数学期望的重要性质

1、设C是常数，则有E(C)=C。

2、设X是随机变量，C是常数，则有E(CX)=CE(X).

3、设X、Y是两个随机变量，则有E(X+Y)=E(X)+E(Y).

4、设X、Y是相互独立的随机变量，则有E(XY)=E(X)E(Y). ? ? ? ? ?

第3、4条性质可以推广到n个随机变量。

四、随机变量的方差

1、方差的定义：设X是R.V，若E{[X-E(X)]2}存在，则称其 为X的方差，记为D(X)，即D(X)=E{[X-E(X)]2}。

2、方差的意义：方差表示随机变量X的取值与其数学期望E(X)的偏离程度。

3、方差的计算：由方差的定义可知，方差实质为一数学期 望，是随机变量的函数[X-E(X)]2的数学期望。

（1）离散情况：

（2）连续情况：

（3）计算方差的重要公式：D(X)=E(X2)-[E(X)]2【必会】

五、标准化随机变量的定义 ? ? ? ?

设R.V X的E(X)=ｕ，D(X)=σ2≠0，记X*=（X-ｕ）/σ，则称X*为X的标准化的随机变量。且E(X*)=0，D(X*)=1。

六、方差的性质

1、设C为常数，则D(C)=0。

2、设X是R.V，C是常数，则有【必知】

3、设X、Y是两个随机变量，则有D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}

4、若X、Y相互独立，则有D(X+Y)=D(X)+D(Y)，此结论可以推广到n 个相互独立的随机变量的情况。

5、D(X)=0的充要条件是X以概率1取常数C，且C=E(X)。

七、六种重要的随机变量的数学期望和方差 ? ?

1、X～(0-1)，X=1的概率为p，则有E(X)=p，D(X)=p(1-p) ? ?

2、X～B(n,p)，则有E(X)=np，D(X)=np(1-p) ? ?

3、X～π(λ)，则有E(X)=λ，D(X)=λ ? ?

4、X～U(a,b)，则有E(X)=(a+b)/2，

5、X～E(θ)，则有E(X)=θ，?

6、X～N(ｕ,σ2)，则有E(X)=ｕ,

八、切比雪夫不等式 【必会】? ?

定理：设随机变量X具有数学期望E(X)= ｕ，D(X)=σ2，则对于任意正数ε，不等式 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 成立，该不等式称为切比雪夫不等式。 ? ?

切比雪夫不等式的另一种形式：

九、协方差及相关系数? ??

1、X、Y的协方差的定义：Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} ? ?

2、X、Y的相关系数的定义：ρXY= Cov(X,Y)/√D(X)D(Y) ? ?

3、跟协方差及相关系数有关的计算公式：

（1）D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)；D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)

（2）Cov(X,Y)= ρXY√D(X)D(Y)

（3）Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)【必会】

（4）Cov(X,X)=E(X2)-E(X)E(X)=D(X)

?4、协方差的性质 ? ?

（1）Cov(X,Y)= Cov(Y,X) ? ?

（2）若a，b为常数，则Cov(aX,bY)=ab Cov(X,Y) ? ?

（3）Cov（X1+X2，Y）= Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y) ?

5、相关系数的性质 ? ? ?

（1）|ρXY|≤1 ? ?

（2）|ρXY|=1的充要条件是：存在常数a，b，使 P{Y=a+bX}=1

?6、不相关的定义及性质 ? ? ?

（1）不相关的定义：如果ρXY=0，则称X和Y不相关 ? ? ?

（2）以下4条说法和不相关等价 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

①ρXY=0； ? ? ? ? ? ? ? ? ?②Cov(X,Y)=0； ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

③E(XY)=E(X)E(Y)；④D(X+Y)=D(X)+D(Y)。 ? ? ?

（3）若X和Y相互独立，则X和Y不相关；反之不成立。 ?

?7、 二维正态分布X和Y不相关的充要条件为：ρ=0； ? ? ? ? ? ? ?

结合二维正态分布X和Y相互独立的条件可知， ? ? ? ? ? ? ?

二维正态分布X和Y不相关和独立是等价的，充 要条件均为ρ=0。

十、矩的概念 ?

1、X的k阶原点矩：E(Xk)，K=1,2,3······ ?

2、X的k阶中心距：E{[X-E(X)]k}，k=2,3······ ? ?

3、X和Y的k+l阶混合矩：E[XkYl]，k,l=1,2,3······ ?

4、X和Y的k+l阶混合中心矩：E{[X-E(X)]k[Y-E(Y)]l}，k,l=1,2,3······ ? ?

由矩的概念知，E(X)为X的一阶原点矩；D(X)为X的二阶中心矩；

Cov(X,Y)为X、Y的二阶混合中心矩。

十一、n维正态随机变量的性质

1、n维正态随机变量（X1，X2···Xn）的每一个分量Xi(i=1,2···n)都是正态随机变量；

反之，若X1，X2···Xn是相互独立的正态随机变量， 则（X1，X2···Xn）是n维正态随机变量。

2、n维随机变量（X1，X2···Xn）服从n维正态分布的条件是X1，X2···Xn的任意线性组合服从一维正态分布。

第五章 大数定律及中心极限定理

一、定理一：切比雪夫定理的特殊情况

设随机变量X1，X2···Xn···相互独立，且具有相同的数学期望和方差：，

做前n个随机变量的算术平均值，则对于任意的ε>0，有

实际意义：用n很大时的Yn来估计ｕ的值。

二、定理二：伯努利定理

设nA是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是 事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意的ε>0，有

实际意义：以严格的数学形式证明了频率的稳定性，从而可以用n很大时的频率来代替概率。

三、定理三：辛钦大数定理

设随机变量X1，X2···Xn···相互独立，服从同一分布且具有数学期望E(Xk)=u，则对于任意的ε>0，有

四、依概率收敛的定义

设X1，X2···Xn···是一个随机变量序列，a是一个常数，若 对于任意的ε>0，有

则称序列X1，X2···Xn···依概率收敛于a。记为

五、中心极限定理

1、定义：把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫 作中心极限定理。

2、独立同分布的中心极限定理： 设随机变量X1，X2···Xn···相互独立，服从同一分布 且具有数学期望，

定义随机 变量，则有，从而有

3、李雅普诺夫定理：

设随机变量X1，X2···Xn···相互独立，具有数学期望 和方差：，定义随机变量 ，则有，从而有

4、棣莫佛-拉普拉斯定理：

设随机变量Xn～B(n,p)，定义随机变量，则有，从而有

设随机变量X1, X2,…, Xn相互独立，且服从相同的分布，他们的数学期望和方差均为μ和σ2(>0)。记:【理解清楚】

则有

?其中φ(z)是标准正态分布的分布函数。

第六章 样本及抽样分布

一、随机样本

1、总体：研究对象的某项数量指标的值得全体。一般用随机变量或随机变量的分布函数来表示总体。

2、个体：总体中的每个元素称为个体。

3、抽样：为推断总体分布及各种特征，按一定规则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以获得有关总体的信息 ，这一抽取过程称为抽样。

4、样本和样本值：抽样得到的个体称为样本，样本所取到的观察值称为样本值。

5、简单随机样本X1，X2···Xn的特点：独立同分布

（1）X1，X2···Xn是相互独立的随机变量；

（2）X1，X2···Xn中的每一个个体与所考察的总体有相同的分布。

二、统计量

1、统计量的定义： 不含任何未知参数的样本的函数称为统计量。

2、常用统计量： 设X1，X2···Xn是来自总体的样本，则有以下常用统计量

（1）样本均值：

（2）样本方差：

（3）样本标准差：

（4）样本k阶原点矩：

（5）样本k阶中心矩：

三、抽样分布

1、抽样分布的定义：统计量的分布称为抽样分布。

2、常用抽样分布

（1） ? ?分布的定义及性质 （2）t分布的定义 （3）F分布的定义

?3、正态总体的样本均值和样本方差的分布 ?

（1）样本均值和样本方差的数字特征 ? ? ? ? ?

设总体X的均值为ｕ，方差为σ2，X1，X2···Xn是总体X的 一个样本，则总有 ? ? ? ?（2）正态总体样本均值的分布 ? ? ? ? ?

设X1，X2···Xn是总体N(ｕ,σ2)的一个样本，则有 ?

（3）正态总体样本方差的分布 （卡方分布）?【必会】?

设X1，X2···Xn是总体N(ｕ,σ2)的一个样本，则有 a: （主要结论）? ? ? ? ?

b：样本均值与样本方差相互独立 ?

（4）与样本均值和样本方差有关的一个分布? （t分布）? ? ? ? ? ??

设X1，X2···Xn是总体N(ｕ,σ2)的一个样本，则有

（5）F分布
F分布是由两个卡方分布与其自由度比值的比值确定的分布，记作

第七章 参数估计

一、点估计

1、点估计问题 ? ? ? ?

设总体X的分布函数为F(x;θ)，θ为待估计的参数。X1，X2···Xn是总体X的一个样本，x1，x2，···xn是相应的一个样本值。点估计问题就是构造一个适当的统计量 ?，用它的观察值来估计参数θ。统计量称为估计量，观察值称为估计值。?

2、矩估计法 ? ? ? ?

理论依据：样本矩Ak依概率收敛于相应的总体矩ｕk ? ? ? ? ?

具体做法：令Ak=ｕk，有几个未知参数就列几个等式，求解方程或方程组即可得到未知参数的矩估计量，代入样本值，即可得到相应的矩估计值。

求解：求出期望，令其=x的绝对值，求得未知参数的^

3、最大似然估计法

对于离散总体，已知其分布律；对于连续总体，已知其概率密度。

由总体的分布律或概率密度写出样本似然函数L(θ)

求样本似然函数的最大值，最大值所对应的θ即为参数θ的最大似然估计值

最大似然估计的性质：设θ的函数ｕ=ｕ（θ）具有单值反函数 ? ? θ=θ（ｕ），若 是θ的最大似然估计，则是ｕ（θ）的 最大似然估计。 ?

求解：对L(θ)取对数，两边分别对θ求导，令其为0，求得

二、估计量的评选标准

1、无偏性：如果，则称是θ的无偏估计量。 ? ? ? ? ? ? ?

结论：Ak是ｕk的无偏估计；样本均值是总体均值的无偏估计；样本方差是总体方差的无偏估计。

无偏估计量：若a为b的无偏估计量，则E(a)=b;

2、有效性：设和是θ的无偏估计，若有 ，则称比有效。

3、相合性：设 （X1，X2…Xn）是θ的估计量，当n趋于?无穷大时，若（X1，X2…Xn）依概率收敛于θ，则称 ?（X1，X2…Xn）为θ的相合估计量。

三、区间估计 ? ? ?

1、区间估计的定义： ?? ?

设总体X的分布函数为F(x;θ)，其中含有一个未知参数θ，对于 给定的α（0<α<1），若由样本X1，X2…Xn确定的 ? ? ? 两个统计量?和 ，满足?，则称区间为θ的置信度为1-α的 置信区间。 ? ? ? ?

其中为置信下限，为置信上限，1-α为置信度。?

2、求未知参数θ的置信区间的步骤 ?

（1）明确问题。确定求什么参数的置信区间，置信水平1-α是多少。 ?

（2）寻找参数θ的一个良好的点估计T（X1，X2…Xn），可从无偏估计入手。 ?

（3）寻找一个待估参数θ和估计量T的函数Z(T，θ)，而且其分布已知。Z(T，θ)称为枢轴量。 ? （4）对于给定的置信水平1-α，根据Z(T，θ)的分布，确定常数a，b，使得。 ?

（5）做等价变形，求出 。?

3、正态总体均值的区间估计 ? ? ?

总体X~N(ｕ,σ2), X1，X2…Xn为样本，设置信度为1-α，求均值ｕ的置信区间。 ?

（1）已知的情况。置信区间为

（2）未知的情况。置信区间为 ? ? ? 4、正态总体方差的区间估计

总体X~N(ｕ,σ2), X1，X2…Xn为样本，设置信度为1-α，求方差 的置信区间。 ? ? ?

ｕ未知情况下，置信区间为 ??? ? ?

5、单侧置信区间 ? ? ? ?

给定值α ?（ 0< α<1 ），若由样本X1，X2…Xn确定的统计量 ?

（1）满足?,则称 为θ的置信度为1-α的单侧置信区间， ?称为单侧置信下限； ?

（2）满足 ?，则称 为θ的置信度为1-α的单侧置信区间， ?称为单侧置信上限；

（3）在形式上，将双侧置信区间里面的上下限中的α/2改成 α，即可得到对应的单侧置信上下限。 ? ? ? ?? ? ? ? ?