动态规划 - 509.斐波那契数(C#和C实现)

动态规划 - 509.斐波那契数(C#和C实现)

题目描述

斐波那契数，通常用 F(n) 表示，形成的序列称为斐波那契数列。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：

F(0) = 0，F(1) = 1
F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1。

给定 N，计算 F(n)。

示例 1:

输入：2
输出：1
解释：F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1。

示例 2:

输入：3
输出：2
解释：F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2。

示例 3:

输入：4
输出：3
解释：F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3。

解题思路

动态规划

1. 定义状态： 设 dp[i] 表示斐波那契数列的第 i 项。
2. 状态转移方程： dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]，即第 i 项等于第 i-1 项和第 i-2 项的和。
3. 初始状态： dp[0] = 0，dp[1] = 1。
4. 遍历顺序： 从小到大遍历，计算每一项的值。

特殊案例

• 如果输入 n 为 0 或 1，则直接返回 n。

C#代码实现

public int Fib(int n) {
    // 如果N等于0或者1，直接返回N
    if (n == 0 || n == 1) {
        return n;
    }

    // 创建一个长度为N+1的数组dp
    int[] dp = new int[n + 1];
    // 初始化dp数组，dp[0]和dp[1]都等于0
    dp[0] = 0;
    dp[1] = 1;

    // 从2开始遍历，每次循环dp[i]等于dp[i-1]和dp[i-2]的和
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
    }

    // 返回dp[n]
    return dp[n];
}

C代码实现

int fib(int n) {
    // 如果N等于0或者1，直接返回N
    if (n == 0 || n == 1) {
        return n;
    }

    // 动态规划，dp[i]表示第i个斐波那契数
    int* dp = (int*)malloc(sizeof(int) * (n + 1));
    // 初始化dp[0]和dp[1]
    dp[0] = 0;
    dp[1] = 1;

    // 从2开始，计算斐波那契数
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        // 递推公式：dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
    }

    // 记录结果
    int result = dp[n];
    // 释放内存
    free(dp);

    return result;
}

时间复杂度和空间复杂度

• 时间复杂度：O(n)，其中 n 是斐波那契数列的项数。需要计算每一项的值。
• 空间复杂度：O(n)。使用了一个大小为 n+1 的数组来保存中间结果。

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