MATLAB实现主成分回归数学建模算法

主成分回归（Principal Component Regression，简称PCR）是一种在多元统计分析中用于建模和预测的方法。PCR结合了主成分分析（Principal Component Analysis，简称PCA）和多元线性回归（Multiple Linear Regression）的思想。

下面是主成分回归的基本步骤：

1. **数据标准化：** 对原始数据进行标准化处理，使得每个变量具有相同的尺度。

2. **主成分分析：** 利用主成分分析方法对标准化后的数据进行降维，得到一组称为主成分的新变量。主成分是原始变量的线性组合，其中第一个主成分包含数据中最大的方差，第二个主成分包含的方差次之，以此类推。

3. **选择主成分：** 选择一定数量的主成分，通常通过保留累积方差的百分比或者其他准则来确定。

4. **建立回归模型：** 利用选定的主成分作为新的自变量，建立多元线性回归模型。回归系数表示了每个主成分在原始数据中的权重。

5. **模型评估和预测：** 对建立的主成分回归模型进行评估，包括模型的拟合度、预测精度等。

主成分回归的优势在于可以通过主成分的选择来减少变量的数量，解决多重共线性问题，提高模型的解释性。然而，PCR也有一些限制，包括对噪声敏感以及在解释模型时可能较为困难。此外，主成分回归的性能与选取的主成分数量密切相关，需要通过交叉验证等方法来确定最佳的主成分数量。

MATLAB的代码如下所示：

clc,clear
a=load('data10_5.txt'); [m,n]=size(a);
x0=a(:,[1:n-1]); y0=a(:,n); 
hg1=[ones(m,1),x0]\y0;   %计算普通最小二乘法回归系数
hg1=hg1' %变成行向量显示回归系数,其中第1个分量是常数项，其它按x1,...,xn排序
fprintf('y=%f',hg1(1)); %开始显示普通最小二乘法回归结果
for i=2:n
    if hg1(i)>0  
       fprintf('+%f*x%d',hg1(i),i-1);
    else
       fprintf('%f*x%d',hg1(i),i-1)
    end
end
fprintf('\n')  
r=corrcoef(x0)  %计算相关系数矩阵
xd=zscore(x0);  %对设计矩阵进行标准化处理
yd=zscore(y0);  %对y0进行标准化处理
[vec1,lamda,rate]=pcacov(r) %vec1为r的特征向量，lamda为r的特征值，rate为各个主成分的贡献率
f=repmat(sign(sum(vec1)),size(vec1,1),1); %构造与vec1同维数的元素为±1的矩阵
vec2=vec1.*f %修改特征向量的正负号，使得特征向量的所有分量和为正
contr=cumsum(rate) %计算累积贡献率，第i个分量表示前i个主成分的贡献率
df=xd*vec2;  %计算所有主成分的得分
num=input('请选项主成分的个数:')   %通过累积贡献率交互式选择主成分的个数
hg21=df(:,[1:num])\yd  %主成分变量的回归系数,这里由于数据标准化，回归方程的常数项为0
hg22=vec2(:,1:num)*hg21  %标准化变量的回归方程系数
hg23=[mean(y0)-std(y0)*mean(x0)./std(x0)*hg22, std(y0)*hg22'./std(x0)]  %计算原始变量回归方程的系数
fprintf('y=%f',hg23(1)); %开始显示主成分回归结果
for i=2:n
    if hg23(i)>0
        fprintf('+%f*x%d',hg23(i),i-1);
    else
        fprintf('%f*x%d',hg23(i),i-1);
    end
end
fprintf('\n')
%下面计算两种回归分析的剩余标准差
rmse1=sqrt(sum((hg1(1)+x0*hg1(2:end)'-y0).^2)/(m-n))   %拟合了n个参数
rmse2=sqrt(sum((hg23(1)+x0*hg23(2:end)'-y0).^2)/(m-num)) %拟合了num个参数

运行结果如下：