【小白学机器学习3】关于最简单的线性回归，和用最小二次法评估线性回归效果, 最速下降法求函数的最小值

目录

1 什么是回归分析

1.1 什么是线性回归

1.2非线性回归

2 数据和判断方法

2.1 原始数据

2.2 判断方法：最小二乘法

3 关于线性回归的实测

3.1 用直线模拟

3.2 怎么判断哪个线性模拟拟合更好呢？

3.2.1 判断标准

3.2.2 最小二乘法

3.2.3 高维度数据

3.3 用python来算下?（暂缺，用plot画图?）

4 关于误差和?E(θ)=1/2*(f(xi)-yi)^2 这个函数本身

4.0 注意新手错误

4.1 ?E(θ)这个函数本身

4.2?E(θ) 是否有最小值？

4.3 但是如何获得这个最小值呢？

4.3.1?方法1，直接求导数

4.3.2 如果找到E(θ)的最小值，就能找到对应的参数

5 用最速下降方法找到一个函数的最小值

5.1 最速下降法

5.2 假设 f(x) 如下，且从图像上看是有最小值的

5.3?最速下降方法的详细计算过程

5.3.0 最速下降方法公式

5.3.2 先分析函数f(x) 和其导函数 f(x)'? ? ? ?

5.3.3 最速下降方法的迭代过程

5.3.4 可以看到2个结论

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1 什么是回归分析

• 从时序数据来看，从过去数据去分析，生成1个模拟曲线。
• 然后用这个模拟曲线去，用新的 x? 去预测新的数据

1.1 什么是线性回归

• 线性，就是指直线
• 从线性代数的角度来看，就是这些向量是否线性相关，如果线性无关就是共线。
• 线性回归，就是回归分析的模拟曲线是直线

1.2非线性回归

• 如果用曲线模拟，也就是用非一次函数/非直线去模拟
• 这样就是非线性回归了把
• 等会儿试试

2 数据和判断方法

2.1 原始数据

• 构造的原始数据
• 故意构造了一个类二维曲线数据，这样用直线去模拟就一定有较大的误差
• ROUND(0.5*C10^1.8+0.5*C10+2,0)

2.2 判断方法：最小二乘法

• 均方误差? MSE=1/n*(f(xi)-yi)^2
• 误差和：E(θ)1/2*(f(xi)-yi)^2 ,类似MSE

3 关于线性回归的实测

3.1 用直线模拟

做了3个线性模拟

• f(x)=1+2x
• f(x)=1+3x
• f(x)=1+2.8x

3.2 怎么判断哪个线性模拟拟合更好呢？

3.2.1 判断标准

• E(θ)=1/2*(f(xi)-yi)^2
• 判断标准就是用 E(θ),哪个E(θ)更小，哪个的拟合效果更好。
• 配合图形上曲线的对比，也可以看到这个结论

3.2.2 最小二乘法

• 用E(θ)的大小可以判断不同的拟合曲线的优劣
• 理论上E(θ)趋近于0，就可以找出拟合最好的曲线

3.2.3 高维度数据

实际上即使不是二维数据，不能用图形化的形式直观的看到。

仍然还是可以用E(θ)=1/2*(f(xi)-yi)^2来判断，比较，模拟曲线的拟合程度

• 上帝视角的 y=ROUND(0.5*C10^1.8+0.5*C10+2,0)
• f(x)=1+2x ，? E(θ)=352
• f(x)=1+3x，? ?E(θ)=60.5
• f(x)=1+2.8x，E(θ)=48.4
• 从图形看，f(x)=1+2.8x , E(θ)=48.4 ,这个直线模拟的效果也确实相对更好

3.3 用python来算下?（暂缺，用plot画图?）

4 关于误差和?E(θ)=1/2*(f(xi)-yi)^2 这个函数本身

4.0 注意新手错误

• 要分析得是?E(θ) 是否有最小值，从而找到误差最小得模拟曲线--以及模拟曲线的参数。
• 而不是分析f(x) 这个模拟函数是否有最小值！！

4.1 ?E(θ)这个函数本身

• 一般来说是多元函数曲线
• 这样很可能就有最小值

4.2?E(θ) 是否有最小值？

• 首先说明
• 如果E(θ)=1/2*(f(xi)-yi)^2 这个函数本身 是直线，哪是无法找到最小值的
• 如果E(θ)是一个开头向下，向上凹的曲线，也是没有最小值的
• 只有E(θ)是一个开头向上，向下凹的曲线，即使有多个波段，也应该是有最小值的

例子：如果E(θ)=1/2*(f(xi)-yi)^2 这个函数本身 是直线，哪是无法找到最小值的

4.3 但是如何获得这个最小值呢？

• 方法1，直接求导数
• 方法2，用最速下降法来逐步达到最小值

4.3.1?方法1，直接求导数

• 知道函数形式后，求导函数
• 但是后面的函数可能很复杂，导函数不好求

4.3.2 如果找到E(θ)的最小值，就能找到对应的参数

• 后面说明怎么求这样E(θ)函数的最小值
• 只有E(θ)是一个开头向上，向下凹的曲线，即使有多个波段，也应该是有最小值的

• 求E(θ)的最小值的目的，就是为了判断这个模拟曲线的拟合程度最好
• 而前提是，曲线足够通用，
• 比如??E(θ)=θ0+θ1x+θ2x^2+....
• 函数是通用形式，哪剩下的就是去用? 求E(θ)的最小值得过程，去找到合适得 参数(θ0,θ1,θ2...)

5 用最速下降方法找到一个函数的最小值

5.1 最速下降法

• 最速下降方法：x=x-rate*f(x)'
• 用学习率找到 f(x)取最小值时的x
• 学习率一般要取小点，比如0.1，0.01 等等

1. 学习率太大可能无法收敛
2. 学习率太小收敛速度会慢

5.2 假设 f(x) 如下，且从图像上看是有最小值的

5.3?最速下降方法的详细计算过程

5.3.0 最速下降方法公式

• 最速下降方法：x=x-rate*f(x)'?? ??? ??? ??? ??? ?
• 用学习率找到 f(x)取最小值时的x?? ??? ??? ??? ??? ?

5.3.2 先分析函数f(x) 和其导函数 f(x)'? ? ? ?

• x=1时取最小值?? ?
• 函数 ? ? ?f(x)=x^2-2x+1
• 导函数 ? f(x)'=2x-2 ? （那么x=1时，f(x)'=0就是f(x)取到最小值）

5.3.3 最速下降方法的迭代过程(不断迭代取新的x)

• 比如取 x=0为初始，rate=0.1
• 第1轮：new x= x-rate*f(x)' =0-0.1*(2*0-2)=0-0.1*(-2)=0.2，新增了0.2
• 第2轮：new x= x-rate*f(x)' =0.2-0.1*(2*0.2-2)=0.2-0.1*(-1.6)=0.2+0.16=0.36，新增了0.16
• 第2轮：new x= x-rate*f(x)' =0.36-0.1*(2*0.36-2)=0.36-0.1*(-1.28)=0.36+0.128=0.488，新增了0.128

5.3.4 可以看到几个结论

• 1）通过x=x-rate*f(x)' 公式迭代算出来的新的x, 每次增加的幅度再减小：0.2→0.16→0.128
• 2）只有增加值逐渐减小，这样计算多次后，x会收敛。
• 3）收敛在x=1与x的初始值无关，
• 可以看到无论x的初始值取多少，比如初始x=0 或者x=5，经过这个算法，计算20次后，都趋近了x=1这个值。
• 4）EXCEL里计算的数列是符合的，x=0时，这1行新x数据0.2?? ?0.36?? ?0.488?? ?0.5904?? ?0.67232?? ?0.737856

5.3.5如果学习率rate=1 取值过大，导致永远无法收敛。见下图