【前缀和】【单调栈】LeetCode2281:巫师的总力量和

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涉及知识点

单调栈
C++算法：前缀和、前缀乘积、前缀异或的原理、源码及测试用例 包括课程视频

题目

作为国王的统治者，你有一支巫师军队听你指挥。
给你一个下标从 0 开始的整数数组 strength ，其中 strength[i] 表示第 i 位巫师的力量值。对于连续的一组巫师（也就是这些巫师的力量值是 strength 的 子数组），总力量 定义为以下两个值的 乘积 ：
巫师中 最弱 的能力值。
组中所有巫师的个人力量值 之和 。
请你返回 所有 巫师组的 总 力量之和。由于答案可能很大，请将答案对 109 + 7 取余 后返回。
子数组 是一个数组里 非空 连续子序列。
示例 1：
输入：strength = [1,3,1,2]
输出：44
解释：以下是所有连续巫师组：

• [1,3,1,2] 中 [1] ，总力量值为 min([1]) * sum([1]) = 1 * 1 = 1
• [1,3,1,2] 中 [3] ，总力量值为 min([3]) * sum([3]) = 3 * 3 = 9
• [1,3,1,2] 中 [1] ，总力量值为 min([1]) * sum([1]) = 1 * 1 = 1
• [1,3,1,2] 中 [2] ，总力量值为 min([2]) * sum([2]) = 2 * 2 = 4
• [1,3,1,2] 中 [1,3] ，总力量值为 min([1,3]) * sum([1,3]) = 1 * 4 = 4
• [1,3,1,2] 中 [3,1] ，总力量值为 min([3,1]) * sum([3,1]) = 1 * 4 = 4
• [1,3,1,2] 中 [1,2] ，总力量值为 min([1,2]) * sum([1,2]) = 1 * 3 = 3
• [1,3,1,2] 中 [1,3,1] ，总力量值为 min([1,3,1]) * sum([1,3,1]) = 1 * 5 = 5
• [1,3,1,2] 中 [3,1,2] ，总力量值为 min([3,1,2]) * sum([3,1,2]) = 1 * 6 = 6
• [1,3,1,2] 中 [1,3,1,2] ，总力量值为 min([1,3,1,2]) * sum([1,3,1,2]) = 1 * 7 = 7
  所有力量值之和为 1 + 9 + 1 + 4 + 4 + 4 + 3 + 5 + 6 + 7 = 44 。
  示例 2：

输入：strength = [5,4,6]
输出：213
解释：以下是所有连续巫师组：

• [5,4,6] 中 [5] ，总力量值为 min([5]) * sum([5]) = 5 * 5 = 25
• [5,4,6] 中 [4] ，总力量值为 min([4]) * sum([4]) = 4 * 4 = 16
• [5,4,6] 中 [6] ，总力量值为 min([6]) * sum([6]) = 6 * 6 = 36
• [5,4,6] 中 [5,4] ，总力量值为 min([5,4]) * sum([5,4]) = 4 * 9 = 36
• [5,4,6] 中 [4,6] ，总力量值为 min([4,6]) * sum([4,6]) = 4 * 10 = 40
• [5,4,6] 中 [5,4,6] ，总力量值为 min([5,4,6]) * sum([5,4,6]) = 4 * 15 = 60
  所有力量值之和为 25 + 16 + 36 + 36 + 40 + 60 = 213 。
  参数范围：
  1 <= strength.length <= 10⁵
  1 <= strength[i] <= 10⁹

单调栈+两个前缀和

时间复杂度: O(n)。

单调栈

枚举各数组的最小值。left 是从右向左第一个小于strength[i]的下标是left，如果不存在left是-1;right是从左向右第一个小于等于strength[i]的下标，如果不存在right为m_c。
如果一个子数组strength[li,ri]的最小值是strength[i]，且strength[i]左边没有和它相等的值。则：
li的取值范围是：(left,i]
ri的取值范围是：[i,right)
我们可以这样计算这些子数组和的和。累加strength[i]它出现的次数。
无论li和ri取值什么，i都在子数组中，所以i出现：(i-left)(right-i)次。
li为left+1时,ri无论取值什么，都包括strength[left+1]
li为left+1和left+2时，ri无论取值什么，都包括strength[left+2]
…

(left,i)中的元素分别出现:right-i次、(right-i)*2、(right-i)*3…

(i,right)中的元素，分别出现：…、(i-left)*2、(i-left)次

前缀和

vPreSum[i] 记录：strength[j]的和，j取值范围[0,i)。
vPreSum2[i]记录：strength[j]*(j+1)的和，j取值范围[0,i)。

代码

核心代码

template<int MOD = 1000000007>
class C1097Int
{
public:
	C1097Int(long long llData = 0) :m_iData(llData% MOD)
	{

	}
	C1097Int  operator+(const C1097Int& o)const
	{
		return C1097Int(((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD);
	}
	C1097Int& operator+=(const C1097Int& o)
	{
		m_iData = ((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	C1097Int& operator-=(const C1097Int& o)
	{
		m_iData = (m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	C1097Int  operator-(const C1097Int& o)
	{
		return C1097Int((m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD);
	}
	C1097Int  operator*(const C1097Int& o)const
	{
		return((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;
	}
	C1097Int& operator*=(const C1097Int& o)
	{
		m_iData = ((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	bool operator<(const C1097Int& o)const
	{
		return m_iData < o.m_iData;
	}
	C1097Int pow(long long n)const
	{
		C1097Int iRet = 1, iCur = *this;
		while (n)
		{
			if (n & 1)
			{
				iRet *= iCur;
			}
			iCur *= iCur;
			n >>= 1;
		}
		return iRet;
	}
	C1097Int PowNegative1()const
	{
		return pow(MOD - 2);
	}
	int ToInt()const
	{
		return m_iData;
	}
private:
	int m_iData = 0;;
};

class CRangIndex
{
public:
	template<class _Pr>
	CRangIndex(const vector<int>& nums, _Pr CurIndexCmpStackTopIndex)
	{
		m_c = nums.size();
		m_vLeft.assign(m_c, -1);
		m_vRight.assign(m_c, m_c);
		stack<int> sta;
		for (int i = 0; i < m_c; i++)
		{
			while (sta.size() && (CurIndexCmpStackTopIndex(i, sta.top())))
			{
				m_vRight[sta.top()] = i;
				sta.pop();
			}
			if (sta.size())
			{
				m_vLeft[i] = sta.top();
			}
			sta.emplace(i);
		}
	}
	int m_c;
	vector<int> m_vLeft, m_vRight;//vLeft[i] 从右向左第一个小于nums[i] ;vRight[i] 是第一个小于等于nums[i]。
};

template<class T = long long >
vector<T> CreatePreSum(const vector<int>& nums)
{
	vector<T> preSum;
	preSum.push_back(0);
	for (int i = 0; i < nums.size(); i++)
	{
		preSum.push_back (preSum[i]+ nums[i]);
	}
	return preSum;
}

class Solution {
public:
	int totalStrength(vector<int>& strength) {
		CRangIndex ri(strength, [&](int i1, int i2) {return strength[i1] <= strength[i2]; });
		auto vPreSum = CreatePreSum<C1097Int<>>(strength);
		vector<C1097Int<>> vPreSum2 = { 0 };
		for (int i = 0 ; i < ri.m_c ;  i++ )
		{
			const auto& n = strength[i];
			vPreSum2.emplace_back(vPreSum2.back() + C1097Int<>(n)*(i+1));
		}
		C1097Int<> biRet = 0;
		for (int i = 0; i < ri.m_c; i++)
		{
			const int left = ri.m_vLeft[i];
			const int right = ri.m_vRight[i];
			const int leftLen = i - left;//左边界的可选范围(left,i]
			const int rightLen = right - i;//右边界的可选范围[i,right)
			//计算(left,i)的巫师和
			C1097Int<> leftTotal = vPreSum2[i] - vPreSum2[left + 1] - (vPreSum[i] - vPreSum[left + 1]) * (left+1);
			//计算(i,right)的巫师和
			C1097Int<> rightTotal = (vPreSum[right] - vPreSum[i + 1])*(right+1) - ( vPreSum2[right] - vPreSum2[i + 1] );
			C1097Int<> iTotal = C1097Int<>(strength[i]) * leftLen * rightLen;
			//计算以小标i为最弱力量的子数组
			C1097Int<> cur = leftTotal * rightLen + rightTotal * leftLen + iTotal;
			cur *= strength[i];
			biRet += cur;
		}
		return biRet.ToInt();
	}
};

测试用例

template<class T>
void Assert(const T& t1, const T& t2)
{
	assert(t1 == t2);
}

template<class T>
void Assert(const vector<T>& v1, const vector<T>& v2)
{
	if (v1.size() != v2.size())
	{
		assert(false);
		return;
	}
	for (int i = 0; i < v1.size(); i++)
	{
		Assert(v1[i], v2[i]);
	}
}

int main()
{
	vector<int> strength;
	{
		Solution slu;
		strength = { 2,3,4 };
		auto res = slu.totalStrength(strength);
		Assert(78, res);
	}
	{
		Solution slu;
		strength = { 1 };
		auto res = slu.totalStrength(strength);
		Assert(1, res);
	}
	{
		Solution slu;
		strength = { 1,3 };
		auto res = slu.totalStrength(strength);
		Assert(14, res);
	}
	{
		Solution slu;
		strength = { 1, 3, 1, 2 };
		auto res = slu.totalStrength(strength);
		Assert(44, res);
	}
	{
		Solution slu;
		strength = { 5,4,6 };
		auto res = slu.totalStrength(strength);
		Assert(213, res);
	}

	{
		Solution slu;
		strength.assign(100'000, 1000'000'000);
		auto res = slu.totalStrength(strength);
		Assert(611131623, res);
	}
	
	//CConsole::Out(res);
}

2023年3月版

class Solution {
public:
int totalStrength(vector& strength) {
m_c = strength.size();
vector vSum1(1), vSum2(1);
for (int i = 0; i < m_c; i++)
{
vSum1.push_back(vSum1.back() + strength[i]);
vSum2.push_back(vSum2.back() + (long long)strength[i] * (i + 1));
}
vector vLeft(m_c), vRight(m_c);
{
std::vector<std::pair<int, int>> vValueIndex;
for (int i = 0; i < m_c; i++)
{
const int iLessEqualNum = std::lower_bound(vValueIndex.begin(), vValueIndex.end(), strength[i] + 1, LessPairInt) - vValueIndex.begin();
vLeft[i] = (0 == iLessEqualNum) ? -1 : vValueIndex[iLessEqualNum - 1].second;
while (vValueIndex.size() && (vValueIndex.back().first >= strength[i]))
{
vValueIndex.pop_back();
}
vValueIndex.emplace_back(strength[i], i);
}
}
{
std::vector<std::pair<int, int>> vValueIndex;
for (int i = m_c - 1; i >= 0; i–)
{
const int iLessNum = std::lower_bound(vValueIndex.begin(), vValueIndex.end(), strength[i], LessPairInt) - vValueIndex.begin();
vRight[i] = (0 == iLessNum) ? m_c : vValueIndex[iLessNum - 1].second;
while (vValueIndex.size() && (vValueIndex.back().first >= strength[i]))
{
vValueIndex.pop_back();
}
vValueIndex.emplace_back(strength[i], i);
}
}

	 C1097Int llSum = 0;
	 for (int i = 0; i < m_c; i++)
	 {
		 const int iLeftLeft = vLeft[i] + 1;
		 const int iLeftRight = i - 1;
		 const int iRightLeft = i + 1;
		 const int iRightRight = vRight[i] - 1;
		 const int iLeftLen = iLeftRight - iLeftLeft + 1;
		 const int iRightLen = iRightRight - iRightLeft + 1;
		 C1097Int llCurSun = ((long long)iLeftLen + 1)*(iRightLen + 1)*strength[i];
		 C1097Int llLeftSum = 0, llRightSum = 0;
		 if (iLeftLen > 0)
		 {
			 llLeftSum = vSum2[iLeftRight + 1] - vSum2[iLeftLeft] - (vSum1[iLeftRight + 1] - vSum1[iLeftLeft])*iLeftLeft;
			 llLeftSum *= (iRightLen + 1);
		 }
		 if (iRightLen > 0)
		 {
			 llRightSum = (vSum1[iRightRight + 1] - vSum1[iRightLeft])*(iRightRight + 2) - (vSum2[iRightRight + 1] - vSum2[iRightLeft]);
			 llRightSum *= (iLeftLen + 1);
		 }
		 llCurSun += llLeftSum;
		 llCurSun += llRightSum;
		 llSum += llCurSun*strength[i];
	 }
	 return llSum.ToInt();
 }
 int m_c;

};

扩展阅读

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子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。
如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛

测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用C++ 实现。