线性代数的学习和整理23：用EXCEL和python 计算向量/矩阵的：内积/点积，外积/叉积

a·b=|a||b|·cosθ
几何意义，向量a在向量b方向上的投影与向量b的模的乘积。
内积是把a向量投影到b向量上面，让两者同向或者反向，让a向量箭头指向b向量相同，让两个向量共线，可以认为在向量里面，所以叫内积。
因此，内积两个向量谁投影谁都可以，因为最后是一个标量，没有方向性。
而外积是把a向量投影到b向量的法线方向，投影到向量的外部（最外部的方向就是法线/垂直/正交的方向），二者几何意义生成的新向量，就是这2个向量组成的法向量，所以叫外积。
外积就不一样了，一定是A投影B，因为要用右手确定结果向量的方向，有前后顺序之分。否则就是反方向，负交换律，A*B = - B*A

2.4.3 点积除了二维空间，还可以三维空间应用吗？

点积在二维空间，a*b=|a||b|*cosθ
点积在三维空间，a*b=|a||b|*cosθ
我觉得三维空间也可以
a,b 只是表示乘3维空间的坐标形式即可,比如a(a1*i,a2*j,a3*j) ,b(b1*i,b2*j,b3*j)?
因为3维空间里也有2维空间，也可以算出cosθ

2.4.4 点乘和点积的定义

点乘：(Pointwise Multiply)

Pointwise Multiply
点乘的结果就是点积

点积

点积, 也标准内积，欧几里得内积
dot?product?

公式

用于矩阵相乘，A，B为维度大小完全相同的矩阵
即A的行数=B的行数，A的列数=B的列数，
实际计算的时候，
点积=行向量*列向量
在运算时，AB矩阵的对应位置的元素相乘。若AB均为mn的矩阵，则其点乘的结果仍为一个mn的矩阵。
两个向量的分量相乘然后相加求和

公式1：a*b=Σ(a1b1+a2b2+.....anbn)
公式2：点积=行向量*列向量
公式3：二维空间中，a*b=|a||b|*cosθ

2.4.5 点积符合的规律

交换律：a?b= b?a
分配律：k*(a+b) =k*a+k?b
结合律：c?(a?b)= (c?a)?b
任何向量*0向量=0向量
方向性

0-90度?,点积>0?,两个向量方向相同
90 点积=0,向量垂直正交
90-180?,点积<0?,两个向量方向相反
180-270?,点积<0
270-360?,点积>0

2.4.6 点积的几何意义

夹角：两个向量的夹角，判断向量之间的方向的相似性
投影：1个向量在另外一个向量方向上的投影，再计算
正交性：点积=0，两个向量垂直正交

关于两个向量的夹角

a*b=|a||b|*cosθ
两个单位向量的点积得到两个向量的夹角的cos值，通过它可以知道两个向量的相似性。
?内积的公式? A*B=|A|*|B|*cos(θ)? ? ?
?向量的内积 W*X=WT*X=|W|*|X|*cos(θ)?? ??? ?

内积的公式可以理解为往另外一个向量的投影

A*B=|A|*|B|*cos(θ)?? ??? ??? ?
A*B=|A|*(|B|*cos(θ))?? ??? ??? ?
A*B=|B|*(|A|*cos(θ))?? ??? ??
内积=一个向量投影到另外一个向量上的分量*另外一个向量?? ??? ??? ?
因此2个向量垂直90°时,向量的分量投影=0，因此内积=0?? ??? ???

EXCEL里cos(θ) 的计算

EXCEL里cos(θ) ，其中θ 必须是弧度
弧度=角度*PI()/180
弧度=RADIANS(角度)

cos曲线?? ??? ???

cos(θ)? 曲线的特点

最大值，最小值和90度正交? ? ? ??

?? ?A*B=|A|*|B|*cos(θ)? ? ? ? ? ??
?? ?当其他条件|A| |B| 的模长不变时，?? ??? ??? ?
?? ?θ=0°，cos(θ)=1，向量平行/共线，内积最大?? ??? ??? ?? ?? ? ? ??? ? ? ??
?? ?θ=180°，cos(θ)=-1?，向量方向相反，内积最小，为负数? ? ?
? ? θ=90°，cos(θ)=0? ? 两个向量内积为0 ，必然两个向量垂直/正交?

2.4.7?向量点积的分界线

向量的内积=0，形成的一条直线，可以作为分界线
向量的内积大于0，就是直线的一边
向量的内积小于0，直线的另外一边
可以用来机器学习里的有监督学习的数据分类时使用此方法

2.4.8 点积的应用

利用点积可判断一个多边形是面向摄像机还是背向摄像机。
向量的点积与它们夹角的余弦成正比，因此在聚光灯的效果计算中，可以根据点积来得到光照效果，如果点积越大，说明夹角越小，则物体离光照的轴线越近，光照越强。

2.5 向量的外积? outer product

2.5.1 外积的定义

outer product
矢积/外积/向量积
数学中又称外积、向量积，物理中称矢积、叉乘
是一种在向量空间中向量的二元运算。
与点积不同，它的运算结果是一个向量而不是一个标量。

向量外积，Outer product

?符号为?×?
?外积结果是一个矩阵，外积的计算过程等价于矩阵的Standard matrix multiplication，就是常规的矩阵计算乘法。

2.5.2 外积的公式

公式表示：c=a×?b，
计算结果是向量：a×?b的结果是一个垂直于a,b向量屏幕的法线向量。
外积的大小：|c|=|a×?b|=|a|*|b|*sin(a,b)
外积的方向：

右手定则：若坐标系是满足右手定则的
设z=x×y,|z|=|x||y|*sin(x,y)，则x,y,z构成右手系，伸开右手手掌，四个手指从x轴正方向方向转到y轴正方面，则大拇指方向即为z正轴方向。

2.5.3 外积的几何意义

c=a×?b
|c|=|a×?b|=|a|*|b|*sin(a,b)
c的方向遵守右手定则，几何意义，c是垂直a、b所在平面，且以|b|·sinθ为高、|a|为底的平行四边形的面积。

2.6 向量的叉积cross product （3维空间，勉强2维空间）

2.6.1 向量的叉积的定义

表示方法：两个向量a和b的叉积写作a×b（有时也被写成a∧b，避免和字母x混淆）。

cross product
叉积、向量积、vector product等。
向量的叉积是向量外积特例？
符号为 x

2.6.2? 向量的叉积的适用范围

叉积运算只定义在三维空间，结果仍然是一个向量
理论上看起来，cross product 叉积的结果应该是一个3维空间内的法向量，
但是当2个向量都是2维向量时，算出的叉积也是一个法向量，但不应该是2维的，所以叉积只能理解为这2个向量组成的面积。

2.6.3? 向量的叉积的公式

叉积运算只定义在三维空间，结果仍然是一个向量
其方向遵循右手定则。
外积的坐标表示：
(x1,y1,z1)×(x2,y2,z2)=(y1z2-y2z1,z1x2-z2x1,x1y2-x2y1)

2.6.4 叉积符合的规律

反交换律：AxB=-BxA
结合律：AxB

2.6.5 向量的叉积的几何意义

向量的叉积 c=a×?b，那么叉积的长度是|c|=|a×?b|=|a|*|b|*sin(a,b)，向量的叉积a×b的长度|a×b|，可以解释成这两个叉乘向量a，b共起点时，所构成平行四边形的面积。
并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。

2.7 向量的混合积

2.7.1 混合积

向量的叉积 c=a×?b，那么叉积的长度是|c|=|a×?b|=|a|*|b|*sin(a,b)，向量的叉积a×b的长度|a×b|，可以解释成这两个叉乘向量a，b共起点时，所构成平行四边形的面积。
而向量的混合积[abc] =(a×b)·c ,可以得到以a，b，c为棱的平行六面体的体积。

2.8 直积/笛卡尔乘积

2.8.1 直积的定义Cartesian product

在数学中，两个集合X和Y的笛卡尔积（Cartesian product），又称笛卡尔乘积，
表示为X?×?Y，第一个对象是X的成员，第二个对象是Y的所有可能成员，而可能组成的有序对的其中一个成员。
设A,B为集合，用A中元素为第一元素，B中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫做A与B的笛卡尔积，记作AxB。

2.8.2 用实例在理解笛卡尔乘积

如果A表示某学校学生的集合，B表示该学校所有课程的集合，则A与B的笛卡尔积表示所有可能的选课情况。A表示所有声母的集合，B表示所有韵母的集合，那么A和B的笛卡尔积就为所有可能的汉字全拼。

2.8.3 笛卡尔乘积的公式

2.9 克罗内克积, Kronecker product

2.9.1?克罗内克积的定义

Kronecker product[6]，克罗内克积
克罗内克积是一种特殊的张量积？
是的向量外积(out product)的推广，形成的是分块矩阵(block matrix)，对矩阵维度没有要求。又称：matrix direct product等。
比最常规的矩阵乘法还要更普适，因为可以对2个相乘的矩阵维度没有要求。用分开矩阵的方法计算
可以认为：外积，叉积都是属于?克罗内克积了。

2.9.2 计算公式

2.10 哈达玛积 Hadamard product

2.10.1 哈达玛积定义

哈达玛积
又称：逐元素积、element-wise product、entrywise product、Schur product等。
符号为?
?矩阵对应元素相乘，要求矩阵维度相同（要求2个矩阵完全相同）。
从计算上看，内积和点积都属于哈达玛积？
而点积就是哈达玛积在二维空间的一种特殊情况？

2.10.2 计算公式

?矩阵对应元素相乘，要求矩阵维度相同。

2.11 张量积 tensor product)

2.11.1 张量积的定义

? \otimes? 张量积
“张量积” 可以扩展到一般范畴。
凡是在范畴中多个对象得到一个对象，并满足一定结合规则和交换规则的操作都可以视为 “张量积”，比如集合的笛卡儿积，无交并，拓扑空间的乘积，等等，都可以被称为张量积。
可以应用于不同的上下文中如向量、矩阵、张量、向量空间、代数、拓扑向量空间和模。
在各种情况下这个符号的意义是同样的：
最一般的双线性运算。在某些上下文中也叫做外积。例如：

2.12 总结（很多深度知识不懂，暂时这么总结吧 - -！）

点积 ? 内积 ? 哈达玛积
叉积?? 外积??克罗内克积?? 张量积
笛卡尔乘积

3 用EXCEL和python计算向量的点积和叉积

（以后看看有没必要加VBA的）

向量，这里是至一维向量
向量=行向量=列向量
向量组=矩阵

3.1 EXCEL里矩阵计算的相关公式

向量组相乘?：mmult() ，计算矩阵的相乘
向量组转置?：transpose() ，矩阵转置，比如行向量转为列向量
向量组取逆?：minverse() ，计算矩阵的逆矩阵，满秩的矩阵才有逆矩阵，并不是都会有逆矩阵
行列数公式：?MDETERM()，计算矩阵的行列式的值。

测试

注意向量的计算，再EXCEL都要用数组公式
用mmult() 计算矩阵乘积，行向量*列向量=点积
用mmult() 计算矩阵乘积，列向量*行向量=新的矩阵~
transpose() 转置，可以转置行向量--列向量
minverse()求逆矩阵，
矩阵*逆矩阵=单位矩阵

3.2 EXCEL如何计算2个向量的点积，叉积

3.2.1 EXCEL计算2个向量的点积的方法

两个向量的点积=行向量*列向量 = 常数/标量
sumproduct() 函数刚好是，对应元素相乘后求和，契合点积公式
mmult() 函数，mmult(行向量，列向量) 也可以计算点积

EXCEL计算点积的注意点

向量的点积: 可以用mmult() 或 sumproduct()
矩阵的点积: 只能用sumproduct()

首先要注意，两个向量要完全相同才可以计算点积

方法1：两个向量相乘的公式，向量的内积=mmult(行向量*列向量)

如果行列向量设置不对，计算时记得用 transpose()
所有矩阵的相乘都可以用muult() ，但是点积的计算要注意矩阵的维度。
比如：向量 A(1*n) B(n*1)= 内积C(1*1)
但是：向量 A(n*1) B(1*n)= C(n*n) 这个不是内积

方法2：用sumproduct() 可以直接计算点积，点积定义符合对应元素相乘再求和
?

3.2.2 用EXCEL计算两个向量叉积的方法

两个向量的叉积计算公式这样
类行列数的计算方法

但是第1行要补充为 x,y,z 或者 i,j,k 这3个坐标轴的基向量
第2行是第2个向量
第3行是第3个向量
计算公式

A=[x1,y1,z1] B=[x2,y2,z2]
C=A*B=[y1z2-z1y2,z1x2-x1z2,x1y2-y1x2]

3.2.3 用EXCEL计算2个2维向量的点积和叉积

测试情况和上面的方法相同

3.2.4 用EXCEL计算2维向量的点积和叉积

测试结果和上面方法的结果相同

3.3? 用python的 numpy 计算两个向量的内积

3.3.1 numpy相关的点乘和叉乘公式

点乘： np.dot()
叉乘： np.cross()

3.3.2 numpy分别计算2维向量的点积和叉积

2 维向量，不是矩阵，dimension(1*2)
计算2维向量的点积，np.dot()
计算2维向量的叉积，np.cross()
而如果用 A*B的*号，以及np.multiply，计算出来的结果是都是对应元素相乘。也就是像哈达玛积。

理论上看起来，cross product 叉积的结果应该是一个法向量，但算出来是个常量
因为再二维空间下，叉积只能是无方向的两个向量叉积对应的面积。
但是当2个向量都是2维向量时，算出的叉积也是一个法向量，但不应该是2维的。所以叉积只能理解为这2个向量组成的面积。

import numpy as np

# 两个2维向量（非向量组）的乘法
A=np.array([1,1])
B=np.array([-1,1])
print("两个2维向量（非向量组）的乘法:")

#np.dot 的结果是点积？
C=np.dot(A,B)
print(f"C=np.dot(A,B)={C}")

#np.cross 的结果是叉积？
C=np.cross(A,B)
print(f"C=np.cross(A,B)={C}")

#A*B 的结果是对应元素相乘
C=A*B
print(f"C=A*B={C}")

#np.multiply 的结果是对应元素相乘
C=np.multiply(A,B)
print(f"C=np.multiply(A,B)={C}")

两个2维向量（非向量组）的乘法:
C=np.dot(A,B)=0
C=np.cross(A,B)=2
C=A*B=[-1  1]
C=np.multiply(A,B)=[-1  1]

3.3.3 numpy分别计算3维向量的点积和叉积

和2维向量计算基本相同
np.dot()? ?,计算3维向量的点积，
np.cross ,计算3维向量的叉积，
A*B? ?，计算出来的结果是都是对应元素相乘
npmultiply(A,B) ，计算出来的结果是都是对应元素相乘，都像哈达玛积

import numpy as np

A=np.array([1,0,0])
B=np.array([0,1,0])
print("两个3维向量（非向量组）的乘法:")


C=np.dot(A,B)
print(f"C=np.dot(A,B)={C}")

C=np.cross(A,B)
print(f"np.cross={C}")


C=A*B
print(f"A*B={C}")

C=np.multiply(A,B)
print(f"np.mutliply(A,B)={C}")

两个3维向量（非向量组）的乘法:
C=np.dot(A,B)=0
np.cross=[0 0 1]
A*B=[0 0 0]
np.mutliply(A,B)=[0 0 0]

4 用EXCEL和python计算向量组的点积和叉积

4.1 EXCEL里计算向量组的点积

4.1.1 EXCEL向量组的点积公式

mmult(矩阵A，矩阵B) 计算的结果就是点积
sumproduct计算的不是内积了！（只有2个向量的内积才能刚好碰巧用sumproduct()计算）
矩阵的内积，就是对应元素相乘的哈达玛积
计算方法，就是EXCEL里直接2个同型矩阵，对应元素相乘即可。

4.1.2 EXCEL里向量组的叉积公式

直接用 mmult() 矩阵相乘即可

4.1.3 下面是2维矩阵和3维矩阵的点积，叉积的计算

4.2 python里向量组/矩阵的乘法

4.2.1 关于2个2*2矩阵的点积和叉积

和向量的计算完全不同！！
矩阵的点积

这两种方法计算出来的都是点积，也就是哈达玛积？
A*B，计算出来的结果是都是对应元素相乘
npmultiply(A,B) ，计算出来的结果是都是对应元素相乘

矩阵的叉积

np.dot()? ,计算矩阵的叉积 (向量用np.dot() 算出来的是点积)
np.matmul() ,?,计算矩阵的叉积
A@B??,计算矩阵的叉积

np.cross? ，计算出来的结果是什么？？？
暂时不知道

对于向量，使用dot函数完成向量的点乘
对于矩阵，使用multiply函数和 * 运算符完成矩阵的点乘，使用matmul函数，np.dot()? 和@运算符完成矩阵的叉乘。

import numpy as np

A=np.array([[1,0],
            [0,1]])
B=np.array([[1,1],
            [1,1]])
print("两个2维矩阵的乘法:")


#A*B 的结果是对应元素相乘
C=A*B
print(f"A*B=\n{C}")

#np.multiply 的结果是对应元素相乘
C=np.multiply(A,B)
print(f"np.mutliply(A,B)=\n{C}")

#np.dot  矩阵的np.dot结果是不是点积，而是叉积！
C=np.dot(A,B)
print(f"C=np.dot(A,B)=\n{C}")

#np.matmu 的结果是叉积
C=np.matmul(A,B)
print(f"np.matmul=\n{C}")

#A @ B 的结果是叉积
C=A @ B
print(f"A @ B=\n{C}")

#np.cross 的结果是？
C=np.cross(A,B)
print(f"np.cross=\n{C}")

两个2维矩阵的乘法:
A*B=
[[1 0]
 [0 1]]
np.mutliply(A,B)=
[[1 0]
 [0 1]]
C=np.dot(A,B)=
[[1 1]
 [1 1]]
np.matmul=
[[1 1]
 [1 1]]
A @ B=
[[1 1]
 [1 1]]
np.cross=
[ 1 -1]

4.2.2? 关于2个3*3矩阵的点乘和叉乘

和2维向量计算基本相同

import numpy as np

A=np.array([[1,0,0],
            [0,1,0],
            [0,0,1]])
B=np.array([[1,1,1],
            [1,1,1],
            [1,1,1]])
print("两个3维矩阵的乘法:")

#A*B 的结果是对应元素相乘
C=A*B
print(f"A*B=\n{C}")

#np.multiply 的结果是对应元素相乘
C=np.multiply(A,B)
print(f"np.mutliply(A,B)=\n{C}")

#np.dot  矩阵的np.dot结果是不是点积，而是叉积！
C=np.dot(A,B)
print(f"C=np.dot(A,B)=\n{C}")

#np.matmu 的结果是叉积
C=np.matmul(A,B)
print(f"np.matmul=\n{C}")

#A @ B 的结果是叉积
C=A @ B
print(f"A @ B=\n{C}")

#np.cross 的结果是？
C=np.cross(A,B)
print(f"np.cross=\n{C}")

两个3维矩阵的乘法:
A*B=
[[1 0 0]
 [0 1 0]
 [0 0 1]]
np.mutliply(A,B)=
[[1 0 0]
 [0 1 0]
 [0 0 1]]
C=np.dot(A,B)=
[[1 1 1]
 [1 1 1]
 [1 1 1]]
np.matmul=
[[1 1 1]
 [1 1 1]
 [1 1 1]]
A @ B=
[[1 1 1]
 [1 1 1]
 [1 1 1]]
np.cross=
[[ 0 -1  1]
 [ 1  0 -1]
 [-1  1  0]]

5 点积和叉积的数学计算总结

5.1 点积计算

点积计算
点积，就是内积，就是哈达玛积
计算方法

5.1.1 如果是向量的点积

如果是向量，就用对应元素相乘后再求和为标量。
EXCEL里用sumproduct()，或者mmult(行向量，列向量)
而python里可以用 np.dot(A,B) ,
如果python利用的是 A*B 或者 np.multiply(A,B) 会得到向量，所以则需要再把得到的向量，直接多元素求和的结果才是点积。

5.1.2 如果是矩阵的点积

如果是矩阵，就直接用对应元素相乘后形成的新矩阵即可，不需要再算标量！
EXCEL直接，A，B如果是同型矩阵，则对应元素相乘即可。
python里，不能用np.dot，而要用A*B 或者 np.multiply(A,B) 会得到点积，不需要再求和处理。

5.2 叉积计算

叉积就是外积

5.2.1 向量的的叉积计算

如果是向量，就用对应元素相乘后再求和为标量。
EXCEL里只能套用公式计算叉积
c = a×b = (y1*z2-y2*z1 , x2*z1-x1*z2 , x1*y2-x2*y1)
python里可以用np.cross(A,B) 计算叉积

5.2.2 矩阵的叉积计算

如果是居住的叉积计算
EXCEL里直接用mmult(矩阵，矩阵) 即可
而python里可以用 np.dot(A,B) ,np.matmul() 或则 A@B计算叉积
np.cross() 算出来的是个啥？暂时不知道了？

5.3 向量的点积，叉积

EXCEL里，向量的点积就是 sumproduct() 或者mmult(行向量，列向量)
EXCEL里，向量的点叉积只能套公式计算c = a×b = (y1*z2-y2*z1 , x2*z1-x1*z2 , x1*y2-x2*y1)
python里，向量的点积，就是np.dot(A,B)
python里，向量的叉积，就是np.cross(A,B)

5.4 矩阵的点积，叉积

EXCEL里，矩阵的点积直接用对应元素相乘
EXCEL里，矩阵的叉积直接用 mmult(A,B)
python里，矩阵的点积则是，A*B 或者np.multiply(A,B)
python里，矩阵的叉积则是，np.dot(A,B) ,np.matmul() 或则 A@B

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线性代数的学习和整理23：用EXCEL和python 计算向量/矩阵的：内积/点积，外积/叉积

1 乘法

1.1 标量乘法(中小学乘法)

1.1.1 乘法的定义

1.1.2 乘法符合的规律

1.2 向量乘法

1.2.1 向量：有方向和大小的对象

1.2.2 向量的标量乘法

1.2.3 常见的向量乘法及结果

1.2.4 向量的其他乘法及结果

1.2.5?向量的模长（长度）

模长的计算公式

1.2.6 距离

2 向量的各种乘法

2.1 向量的标量乘法（即：向量乘1个常数）

2.2 通用的向量/矩阵乘法? (Matrix Multiply)

2.3 向量的内积(数量积) inner product

2.3.1 内积的定义（适合N维空间中）

2.3.2 内积的计算公式：

2.3.3 内积乘法符合的规律

2.3.4 内积的几何意义

2.4 向量的点积 (标准内积/欧几里得内积) Dot product

（二维空间 ，勉强三维空间）

2.4.1 内积和点积的区别: 点积是欧几里得内积，是内积的特例

2.4.2 内积和外积的几何意义的区别