时间复杂度和空间复杂度

算法复杂度

同一问题可用不同算法解决，而一个算法的质量优劣将影响到算法乃至程序的效率。算法分析的目的在于选择合适算法和改进算法。一个算法的评价主要从时间复杂度和空间复杂度来考虑。
时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。但是更好的算法复杂度由于代码的运行明显更有利，所以我们还是要尽量选择更优的算法。

大O的渐进表示法

实际中我们计算时间复杂度或者空间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这里我们使用大O的渐进表示法。
大O符号：用于描述函数渐进行为的数学符号。
推导大O阶的方法：

1. 用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2. 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3. 如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

例如：

void Func1(int N)
{
	int count = 0;
	for (int i = 0; i < N ; ++ i)
	{
 		for (int j = 0; j < N ; ++ j)
 		{
 			++count;
 		}
	}
 
	for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
	{
 		++count;
	}
	int M = 10;
	while (M--)
	{
 		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}

fun1的时间复杂度为：N² +2*N+10
使用大O表示法为O(N²)
fun1的空间复杂度为：4
使用大O表示法为O(1)

另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：
最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)
平均情况：任意输入规模的期望运行次数
最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)
例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x
最好情况：1次找到
最坏情况：N次找到
平均情况：N/2次找到
在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)

常见复杂度图示

时间复杂度

概念

在计算机科学中，时间复杂性，又称时间复杂度，算法的时间复杂度是一个函数，它定性描述该算法的运行时间。这是一个代表算法输入值的字符串的长度的函数。
一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。

举例

例一

void Func2(int N)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
	{
		++count;
	}
	int M = 10;
	while (M--)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}

基本操作执行了2N+10次，通过推导大O阶方法知道，时间复杂度为 O(N)。
例二

void Func3(int N, int M)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < M; ++ k)
	{
		++count;
	}
	for (int k = 0; k < N ; ++ k)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}

基本操作执行了M+N次，有两个未知数M和N，时间复杂度为 O(N+M)。
N和M一样大，O(N)或O(M)
N远大于M，O(N)
M远大于N，O(M)
例三

void Func4(int N)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < 100; ++ k)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}

基本操作执行了10次，通过推导大O阶方法，时间复杂度为 O(1)。
O(1)不是一次，而是常数次。
例四

const char * strchr ( const char * str, int character );

基本操作执行最好1次，最坏N次，时间复杂度一般看最坏，时间复杂度为 O(N)。
例五

void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	for (size_t end = n; end > 0; --end)
	{
		int exchange = 0;
		for (size_t i = 1; i < end; ++i)
		{
			if (a[i-1] > a[i];
			{
				Swap(&a[i-1], &a[i]);
				exchange = 1;
			}
		}
	if (exchange == 0)
	break;
	}
}

基本操作执行最好N次，最坏执行了(N*(N+1))/2次，通过推导大O阶方法+时间复杂度一般看最坏，时间复杂度为 O(N²)

例六

int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
	assert(a);
	int begin = 0;
	int end = n-1;
	// [begin, end]：begin和end是左闭右闭区间，因此有=号
	while (begin <= end)
	{
		int mid = begin + ((end-begin)>>1);
		if (a[mid] < x)
			begin = mid+1;
		else if (a[mid] > x)
			end = mid-1;
		else
			return mid;
	}
	return -1;
}

基本操作执行最好1次，最坏O(logN)次，时间复杂度为 O(logN)。
logN在算法分析中表示是底数为2，对数为N（$lo{g}_2$N）。有些地方会写成lgN。
如果底数不是2，则需要写明底数。
例七

long long Fac(size_t N)
{
	if(0 == N)
		return 1;
 
	return Fac(N-1)*N;
}

fac(N)->fac(N-1)->……->fac(1)。
通过计算分析发现基本操作递归了N次，时间复杂度为O(N)。
例八

long long Fib(size_t N)
{
	if(N < 3)
		return 1;
 
	return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

通过计算分析发现基本操作递归了2^N次，时间复杂度为O(2^N)。

空间复杂度

概念

空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度 。
空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。
注意：函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。
分析一个算法所占用的存储空间要从各方面综合考虑。如对于递归算法来说，一般都比较简短，算法本身所占用的存储空间较少，但运行时需要一个附加堆栈，从而占用较多的临时工作单元；若写成非递归算法，一般可能比较长，算法本身占用的存储空间较多，但运行时将可能需要较少的存储单元。

举例

例一

void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	for (size_t end = n; end > 0; --end)
	{
		int exchange = 0;
		for (size_t i = 1; i < end; ++i)
		{
			if (a[i-1] > a[i])
			{
				Swap(&a[i-1], &a[i]);
				exchange = 1;
			}
		}
		if (exchange == 0)
		break;
	}
}

使用了常数个额外空间，所以空间复杂度为 O(1)。
例二

long long* Fibonacci(size_t n)
{
	if(n==0)
		return NULL;
 
	long long * fibArray = (long long *)malloc((n+1) * sizeof(long long));
	fibArray[0] = 0;
	fibArray[1] = 1;
	for (int i = 2; i <= n ; ++i)
	{
		fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];
	}
	return fibArray;
}

动态开辟了N个空间，空间复杂度为 O(N)。
例三

long long Fac(size_t N)
{
	if(N == 0)
	return 1;
 
	return Fac(N-1)*N;
}

递归调用了N次，开辟了N个栈帧，每个栈帧使用了常数个空间。空间复杂度为O(N)。