微积分-第四章极限-3

4.3 在$\infty$和$?\infty$处的极限

在上一节中我们讨论了$x $趋向一定点$a$时的函数的行为。这节课我们讨论当$x$变得越来越大时的函数的行为。也就是我们想写出
$$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=L$$
这个极限意味着当$x$变得越来越大时，$f(x)$会越来越接近一个定值L，并保持这种接近状态。我们称$y=L$是函数$f(x)$的右侧水平渐近线。

类似地，当$x$ 越来越小时:
$$\underset{x\to ?\infty }{\lim }f(x)=L$$

这个极限意味着当$x$变得越来越小时，$f(x)$会越来越接近一个定值L，并保持这种接近状态。我们称$y=L$是函数$f(x)$的左侧水平渐近线。

考虑函数$f(x)=\frac{1}{x}$让我们画出函数的图像

从图像中我们不难看出当x变得越大，函数的图像越接近于x轴也就是当$x\to \infty$ 时$f(x)\to 0$。写作：
$$\underset{x\to \infty }{\lim }f(X)=0$$

我们称x轴是函数$f$的在$y=0$处的右侧水平线。

当$x$变得越小，函数的图像越接近于$x$轴,也就是
$$\underset{x\to ?\infty }{\lim }f(X)=0$$
我们称x轴是函数$f$的在$y=0$处的左侧水平线。

综上所述我们有：

• $f$在$y=L$处有一条右侧水平渐近线,意味着
  $$\underset{x\to \infty }{\lim }f(X)=L$$
• $f$在$y=M$处有一条左侧水平渐近线,意味着
  $$\underset{x\to ?\infty }{\lim }f(X)=M$$

考虑极限
$$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=\infty$$
这个极限说明当x变得越来越大时，$f(x)$也会随之变大。这意味着函数没有水平渐近线。

在微积分中我们通常称一个数是大的或小的。那什么是大的什么是小的？

或许大家会自然的认为$\infty$是大的，$?\infty$是小的。但并不是这这样的。你应该把$?\infty$看作是一个非常大的负数。不正式的说：如果一个数的绝对值是非常大的数，则这个数是大的。

如果一个数非常接近于0，但不等于0，则这个数是小的。例如：-0.0000001、0.0000001。需要注意的是我们不把0看作是小的，它就是零。

新的问题随之而来，”非常大“和"非常接近于0"这意味着什么呢？"非常大"和"非常接近于0"的概念是相对的，需要结合具体的函数和极限来理解。

对于极限
$$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=L$$

如果从某个值（比如$x=5000$）开始，$f(x)$的值已经非常接近于$L$，那么我们就可以说比$5000$大的数都是“大”的。但对于其他函数，可能需要$x$达到更大的值（比如$10000000$），$f(x)$的值才会趋近于$L$。

"非常接近于0"的概念也需要结合具体的函数和极限来理解。考虑极限：
$$\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=L$$
$x$距离0有多近，这取决于函数$f$。这和非常大的情形是一样的。