【洛谷 P1719】最大加权矩形 题解（前缀和+贪心+容斥原理）

最大加权矩形

题目描述

为了更好的备战 NOIP2013，电脑组的几个女孩子 LYQ,ZSC,ZHQ 认为，我们不光需要机房，我们还需要运动，于是就决定找校长申请一块电脑组的课余运动场地，听说她们都是电脑组的高手，校长没有马上答应他们，而是先给她们出了一道数学题，并且告诉她们：你们能获得的运动场地的面积就是你们能找到的这个最大的数字。

校长先给他们一个 $n\times n$ 矩阵。要求矩阵中最大加权矩形，即矩阵的每一个元素都有一权值，权值定义在整数集上。从中找一矩形，矩形大小无限制，是其中包含的所有元素的和最大 。矩阵的每个元素属于 $[?127,127]$ ,例如

 0 –2 –7  0 
 9  2 –6  2
-4  1 –4  1 
-1  8  0 –2

在左下角：

9  2
-4  1
-1  8

和为 $15$。

几个女孩子有点犯难了，于是就找到了电脑组精打细算的 HZH，TZY 小朋友帮忙计算，但是遗憾的是他们的答案都不一样，涉及土地的事情我们可不能含糊，你能帮忙计算出校长所给的矩形中加权和最大的矩形吗？

输入格式

第一行：$n$，接下来是 $n$ 行 $n$ 列的矩阵。

输出格式

最大矩形（子矩阵）的和。

样例 #1

样例输入 #1

4
0 -2 -7 0
 9 2 -6 2
-4 1 -4  1 
-1 8  0 -2

样例输出 #1

15

提示

$1\le n\le 120$

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思路

前缀和是一种常用的处理数组的技巧，它可以在O(1)的时间复杂度内求出数组中任意连续子数组的和。

用二维数组s来存储前缀和。s[i][j]表示从(1,1)到(i,j)形成的矩形区域中所有元素的和。

使用四重循环来枚举所有可能的矩形区域。外两层循环i和j代表矩形的右下角坐标，而内两层循环k和l代表矩形的左上角坐标。

对于每一个矩形区域，我们计算其元素和t。这里利用了前缀和的性质，即矩形区域的元素和等于整个大矩形的元素和减去右边和下边两个小矩形的元素和，再加上重复减去的右下角小矩形的元素和。这就是所谓的容斥原理。

然后，采用贪心的策略，即每次都尝试用当前的元素和t更新最大元素和maxi。如果t大于maxi，就用t来更新maxi。

最后，我们输出最大元素和maxi，这就是最大加权矩形的权值。

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AC代码

#include <iostream>
#define ll long long
#define AUTHOR "HEX9CF"
using namespace std;

const int N = 1e4 + 7;

int n;
int a[N];
ll s[N][N];
ll maxi = -0x3f3f3f3f;

int main() {
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 1; j <= n; j++) {
			cin >> a[i];
			s[i][j] = a[i] + s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1];
		}
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 1; j <= n; j++) {
			for (int k = 1; k <= i; k++) {
				for (int l = 1; l <= j; l++) {
					ll t = s[i][j] - s[k - 1][j] - s[i][l - 1] + s[k - 1][l - 1];
					maxi = (t > maxi) ? t : maxi;
				}
			}
		}
	}
	cout << maxi << endl;
	return 0;
}