运筹说 第100期 | 库恩塔克条件（KKT条件）的另一个“K”

上期的最后，我们留下了一个问题——库恩塔克条件为什么叫KKT条件，这多出来的一个“K”指的是谁呢？本期我们就将为大家介绍KKT条件背后的故事以及那另一个“K”。

一、KKT条件的历史背景

KKT条件（Karush-Kuhn-Tucker conditions）是由三位数学家的姓氏组成的缩写，分别是Karush、Kuhn和Tucker。这三位数学家都对非线性规划问题的最优化条件做出了重要的贡献。不同于Kuhn和Tucker师出同门，Karush与另两位并没有真正认识过，KKT条件是他们唯一的联系。具体来说：

Karush是最早提出这种条件的人，他在1939年的硕士论文中给出了含有不等式约束的优化问题的必要条件。但是，他的论文并没有引起当时数学界的注意，甚至他自己也没有意识到他的发现有多重要。

直到1951年Kuhn和Tucker发现了Karush的工作，并将其推广到更一般的情况，同时也给出了充分条件。他们的论文引起了很多学者的重视，也奠定了非线性规划理论的基础。但是，他们也遇到了一些困难。首先，他们在寻找合适的期刊发表时，被拒绝了好几次，因为当时很多编辑认为这个问题太复杂，没有实际意义。其次，他们在给出充分条件时，使用了一个错误的引理。这个引理是由一个叫做Fritz John的数学家提出的，但是John自己也没有证明它。后来，在1954年，一个叫做Uzawa的日本数学家发现了这个错误，并给出了一个正确的证明。

（数学家Fritz John）

因此，KKT条件是对这三位数学家的一种致敬，也是非线性规划领域最重要的成果之一。

二、Karush生平介绍

在上一期中，我们介绍了KKT条件的两位创始人库恩和塔克的生平，下面小编将带着大家一起去了解一下第三位创始人——Karush。

基本介绍

William Karush（1917年3月1日至1997年2月22日）是美国加州州立大学北岭分校的数学教授，也是一位数学家，因其对Karush–Kuhn–Tucker条件的贡献而闻名。

（William Karush）

生平纪事

?Karush于1917年3月1日出生在伊利诺伊州芝加哥。

1939年，Karush以优异的成绩获得了莫斯科大学的数学硕士学位，他的论文题目是《含有不等式约束的多变量函数的极小值问题》。在这篇论文中，他首先给出了含有不等式约束的优化问题的必要条件，这就是后来被称为KKT条件的一部分。

1942年从芝加哥大学获得博士学位后，Karush在华盛顿卡内基研究所短暂工作，然后返回芝加哥加入曼哈顿计划。从1943年到1945年，Karush是芝加哥大学冶金实验室和橡树岭的副物理学家，在那里他帮助解决了与核反应堆设计有关的数学物理问题。他签署了西拉德请愿书，试图避免对日本使用原子弹，后来成为一名和平活动家。

（西拉德请愿书）

除知名的KKT条件外，Karush还编写了一些数学方面的书籍和文章，如《Webster’s New World Dictionary of Mathematics》、《On the Maximum Transform and Semigroups of Transformations》等。

Karush于1997年去世，享年79岁。

其他成果

·Karush与Richard Bellman合作，发表了《关于最大变换和变换半群》，这是一篇关于非线性函数的最大值问题和变换半群理论的文章，其中引入了Karush-Bellman不等式和Karush-Bellman方程。

·Karush与Magnus Hestenes合作，发表了《关于非线性规划问题的最优化条件》，这是一篇关于KKT条件的推广和应用的文章，其中给出了一般形式的非线性规划问题的必要条件和充分条件，并举例说明了它们在经济学、工程学、物理学等领域的用途。

·Karush与Oscar Tarcov合作，编写了《Webster’s New World Dictionary of Mathematics》，这是一本关于数学术语和概念的词典，其中收录了许多Karush本人提出或参与的数学名词和定理，如Karush-Bellman不等式、Karush-Bellman方程、KKT条件等。

三、其他案例

KKT条件的由来说明了数学研究中的一个现象——即有些重要的发现可能会被忽视或遗忘，直到后来被其他人重新发现或引用。这也反映了数学家之间的交流和合作的重要性，以及数学期刊和会议的作用。而在数学史上，这样的事件并不少见，下面小编就为大家介绍几个类似的故事。

①线性规划的理论基础是单纯形法（Simplex Method），它是由美国数学家乔治·丹齐格（George Dantzig）在1947年提出的。但是，在丹齐格之前，苏联数学家列奥尼德·康托洛维奇（Leonid Kantorovich）在1939年出版的《生产组织与计划中的数学方法》（Mathematical Methods of Organizing and Planning Production）一书中就已经建立了一个线性规划模型，并将其用于当时列宁格勒胶合板厂的计划任务。但是，由于当时的政治环境和语言障碍，康托洛维奇的工作并没有引起西方数学界的注意，直到1959年才被翻译成英文。康托洛维奇后来也因为其在线性规划方面的贡献而获得了1975年诺贝尔经济学奖。

②动态规划的概念是由美国数学家理查德·贝尔曼（Richard Bellman）在1950年代提出的，他将其应用于控制论和运筹学等领域。 但是，在贝尔曼之前，印度数学家拉马努金（Srinivasa Ramanujan）在1913年就已经发现了一种类似于动态规划的方法，并将其应用于分析分拆数（Partition Function）和其他组合数论问题。 但是，由于拉马努金早逝和他的工作缺乏系统性和普及性，他的方法并没有引起当时数学界的重视，直到后来被其他人重新发现或引用。

③随机规划（Stochastic Programming）是一种求解最优化问题的数学方法，即在不确定性或随机性存在的情况下，使一个目标函数达到最大或最小值。随机规划的理论基础是期望值法（Expected Value Approach），它是由美国统计学家阿布拉姆·沃尔德（Abraham Wald）在1945年提出的。 但是，在沃尔德之前，苏联统计学家安德烈·科尔莫戈洛夫（Andrey Kolmogorov）在1939年就已经发表了一篇论文《关于最优化问题的一种新方法》（A New Method for Solving Optimization Problems），其中提出了一种类似于随机规划的方法，并将其应用于最优化投资组合的问题。 但是，由于当时的政治环境和语言障碍，科尔莫戈洛夫的工作并没有引起西方数学界的注意，直到1956年才被翻译成英文。

看到这里，想必大家对KKT条件以及Karush肯定有了更深的了解，之后我们还会分享数学史上的更多趣闻轶事，敬请期待吧！

作者 | 葛彦泽? 张巧英

责编 | 陈梦

审核 | 徐小峰

YUNCHOUSHUO！

·知乎｜运筹说·

·bilibili｜运筹说·

·CSDN｜运筹说·

·抖音｜运筹说·