数据结构：二叉树

数据结构：二叉树

二叉树

1.一些特殊的二叉树

1.满二叉树

满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是
说，如果==一个二叉树的层数为K，且结点总数是2^k-1== ，则它就是满二叉树。

2.完全二叉树

完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K
的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一 一对
应时称之为完全二叉树。 **要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树**。

2.手动创建一颗二叉树

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<assert.h>

// 手动快速创建一棵简单的二叉树来测试三种深度优先遍历方式（前中后序遍历）（后续学习递归构建二叉树才是真正常用的方法）
typedef int BinaryTreeDataType;

typedef struct BinaryTreeNode
{
	BinaryTreeDataType val;
	struct BinaryTreeNode* left;
	struct BinaryTreeNode* right;
} BTNode;

BTNode* CreateBTNode(BinaryTreeDataType x)
{
	BTNode* NewBTNode = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	if (NewBTNode == NULL)
	{
		perror("malloc fail");
		exit(-1);
	}

	NewBTNode->val = x;
	NewBTNode->left = NULL;
	NewBTNode->right = NULL;
	return NewBTNode;
}
BTNode* CreatBinaryTree()
{
	BTNode* root = CreateBTNode(1);
	BTNode* node2 = CreateBTNode(2);
	BTNode* node3 = CreateBTNode(3);
	BTNode* node4 = CreateBTNode(4);
	BTNode* node5 = CreateBTNode(5);
	BTNode* node6 = CreateBTNode(6);

	root->left = node2;
	root->right = node4;
	node2->left = node3;
	node4->left = node5;
	node4->right = node6;

	return root;
}

3.二叉树深度优先遍历

前序、中序和后序遍历都属于「深度优先遍历 depth-first traversal, DFS」，它体现了一种“先走到尽头，再回溯继续”的遍历方式。

// 前序遍历
void Preorder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("N ");
		return;
	}

	printf("%d ", root->val);
	Preorder(root->left);
	Preorder(root->right);
}

// 中序遍历
void Inorder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("N ");
		return;
	}

	Inorder(root->left);
	printf("%d ", root->val);
	Inorder(root->right);
}
// 后序遍历
void Postorder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("N ");
		return;
	}

	Postorder(root->left);
	Postorder(root->right);
	printf("%d ", root->val);
}

4.二叉树层序遍历

层序遍历本质上属于「广度优先遍历 breadth-first traversal, BFS」，它体现了一种“一圈一圈向外扩展”的逐层遍历方式。

利用队列先进先出的性质：父亲先进队列，父亲出来时再带孩子进队列

void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root)
{
	// 利用队列   实现二叉树的层序遍历   (队列先进先出性质)
	Queue* queuehead = Init();
	Push(&queuehead, root);
	while (!Empty(queuehead))
	{
		// 遍历二叉树入队列并挨个打印值
		BTNode* front = Peek(&queuehead);
		printf("%c ", front->data);
		Pop(&queuehead);
		if (front->left != NULL)
		{
			Push(&queuehead, front->left);
		}
		if (front->right != NULL)
		{
			Push(&queuehead, front->right);
		}
	}
	// 销毁队列
	Destroy(&queuehead);
}

5.二叉树基础操作

1.创建二叉树

typedef char BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode
{
	BTDataType data;
	struct BinaryTreeNode* left;
	struct BinaryTreeNode* right;
}BTNode;
// 通过 前序遍历 的数组"ABD##E#H##CF##G##"构建二叉树

BTNode* BinaryTreeCreate(BTDataType* parray, int* pi)
{
	// 前序遍历创建二叉树
	if (parray[*pi] == '#')
	{
		(*pi)++;
		return NULL;
	}
	BTNode* root = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	if (root == NULL)
	{
		perror("malloc fail");
		exit(-1);
	}
	root->data = parray[(*pi)++];
	root->left = BinaryTreeCreate(parray, pi);
	root->right = BinaryTreeCreate(parray, pi);

	return root;
}

2.二叉树节点个数

/*
写法一：遍历计数
*/
int BinaryTreeSize(BTNode* root)
{
	// 遍历二叉树计算节点个数
	static int size = 0;// 函数中使用静态不能完全解决问题，无法处理多次计算的情况

	if (root == NULL)
	{
		return 0;
	}
	size++;
	BinaryTreeSize(root->left);
	BinaryTreeSize(root->right);
	return size;
}


/*
写法二：递归分治子问题
*/
int BinaryTreeSize(BTNode* root)
{
	return root == NULL ? 0 : BinaryTreeSize(root->left) + BinaryTreeSize(root->right) + 1;
	//节点个数 = 左子树节点个数 + 右子树节点个数 + 1
}

3.二叉树叶子节点个数

int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		return 0;
	}

	// 叶子节点个数 = 左子树叶子节点个数 + 右子树叶子节点个数
	return root->left == NULL && root->right == NULL ? 
        1 : BinaryTreeLeafSize(root->left) + BinaryTreeLeafSize(root->right);
}

4.二叉树的高度

/*
写法1：
*/
int BinaryTreeHight(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		return 0;
	}
	// 此处递归分治多次重复导致效率过低(原因是此逻辑中比较时候进行了递归分治，计算的时候又重复进行了计算)
	return BinaryTreeHight(root->left) > BinaryTreeHight(root->right)
		|| BinaryTreeHight(root->left) == BinaryTreeHight(root->right)
		? BinaryTreeHight(root->left) + 1
		: BinaryTreeHight(root->right) + 1;
	// 二叉树的高度 = 左子树与右子树相比，高度更高的那棵树的高度 + 1
}


/*
写法2：
*/
int BinaryTreeHight(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		return 0;
	}
	//提前记录高度
	int lefthight = BinaryTreeHight(root->left);
	int righthight = BinaryTreeHight(root->right);

	// 二叉树的高度 = 左子树与右子树相比，高度更高的那棵树的高度 + 1
	return lefthight > righthight
		|| lefthight == righthight
		? lefthight + 1
		: righthight + 1;

}

5.二叉树第k层节点个数

int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k)
{
	if (root == NULL)
	{
		return 0;
	}
	if (root != NULL && k == 1)
	{
		return 1;
	}

	// 问题拆分：第k层节点个数 = 左子树第k-1层节点数 + 右子树第k-层节点数
	return BinaryTreeLevelKSize(root->left, k - 1) + BinaryTreeLevelKSize(root->right, k - 1);

}

6.二叉树查找值为x的节点

BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x)
{
	if (root == NULL)
	{
		return NULL;
	}
	// 前序遍历二叉树寻找该节点
	if (root->data == x)
	{
		return root;
	}
	else
	{
		BTNode* leftnode = BinaryTreeFind(root->left, x);
		if (leftnode)
		{
			return leftnode;
		}

		BTNode* rightnode = BinaryTreeFind(root->right, x);
		if (rightnode)
		{
			return rightnode;
		}
		//如果左右节点都不是我们要找的该节点则返回空
		if (leftnode == NULL && rightnode == NULL)
		{
			return NULL;
		}
    }
}

7.层序遍历

void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root)
{
	// 利用队列   实现二叉树的层序遍历   (队列先进先出性质)
	Queue* queuehead = Init();
	Push(&queuehead, root);
	while (!Empty(queuehead))
	{
		// 遍历二叉树入队列并挨个打印值
		BTNode* front = Peek(&queuehead);
		printf("%c ", front->data);
		Pop(&queuehead);
		if (front->left != NULL)
		{
			Push(&queuehead, front->left);
		}
		if (front->right != NULL)
		{
			Push(&queuehead, front->right);
		}
	}
	// 销毁队列
	Destroy(&queuehead);
}

变形：如何控制一层一层打印并换行？

// 层序遍历变形换行打印
void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root)
{
	// 利用队列   实现二叉树的层序遍历   (队列先进先出性质)
	Queue* queuehead = Init();
	Push(&queuehead, root);
    // 根据每一层的数据的个数得出打印多少次后进行一次换行
	int levelsize = 1;
	while (!Empty(queuehead))
	{
		// 一层一层出
		while (levelsize--)
		{
			// 遍历二叉树入队列
			BTNode* front = Peek(&queuehead);
			printf("%c ", front->data);
			Pop(&queuehead);
			if (front->left != NULL)
			{
				Push(&queuehead, front->left);
			}
			if (front->right != NULL)
			{
				Push(&queuehead, front->right);
			}
		}
		printf("\n");
		levelsize = Size(queuehead);
	}
	// 销毁队列
	Destroy(&queuehead);
}

8.二叉树销毁

// 二叉树销毁
void BinaryTreeDestory(BTNode* root)
{
	// 走后序遍历更方便销毁
	if (root == NULL)
	{
		return;
	}
	BinaryTreeDestory(root->left);
	BinaryTreeDestory(root->right);
	free(root);
}

9.判断二叉树是否是完全二叉树

思路：完全二叉树只有最后一层会出现 NULL 值，而且出现了 NULL 值，则后面不会再出现非空的值。我们可以通过层序遍历的思想，一层一层遍历，如果遇到空结点，记录一下，然后继续遍历，若是后面出现了非空值，则说明该二叉树不是完全二叉树。

// 判断二叉树是否是完全二叉树
// 参数：root，一个指向二叉树根节点的指针
bool BinaryTreeComplete(BTNode* root)
{
	Queue* queuehead = Init();
	// 将二叉树的根节点入队列
	Push(&queuehead, root);
	while (!Empty(queuehead))
	{
		BTNode* front = Peek(&queuehead);
		if (front == NULL)
		{
			break;
		}
		Pop(&queuehead);

		Push(&queuehead, front->left);
		Push(&queuehead, front->right);
	}
	// 当第一次遍历的时候出道空代表应当结束了，第二次继续往后遍历如果队列中还有非空代表不是完全二叉树
	while (!Empty(queuehead))
	{
		BTNode* front = Peek(&queuehead);
		Pop(&queuehead);
		if (front != NULL)
		{
			return false;
		}
	}
	return true;
}