G代码圆弧

圆弧总结

说明

工作中经常画图经常会遇到圆弧，开始的时候我并不是很理解，随着深入发现其实有些坑的，这里总结记录一下，可能并不是最优的解法，但肯定是自己理解后想出来的，如果这些能给你提供一些思路和帮助，那便是极好的。

G-Code的G02/G03

G02 顺时针圆弧/G03 逆时针圆弧

圆心的计算

I, J, K模式

G02 X20 Y10 I0 J-10
G03 X10.5 I3.0 J4.0

G02/G03指令，是已知起始点S(X_s, Y_s)，终止点E(X_e, Y_e)，相对圆心的增量(I, J)，顺逆时针状态。通过这些信息我们是可以算出圆心的。

一般来说是(I, J)是圆弧起点相对圆心的增量，即圆心O坐标是(X_s + I, Y_s + J)。而我遇到的情况，(I, J)的表示可能有以下几种情况：

• 相对圆弧起点的增量
• 相对圆弧终点的增量
• 绝对圆弧中心

计算

这个就很简单了，针对(I, J)表示不同时计算方式也不同

• 相对圆弧起点时，圆心坐标

$$\begin{gathered} O_x=X_s+I; \\ {O}_y=Y_s+J; \end{gathered}$$

• 相对圆弧终点时，圆心坐标

$$\begin{gathered} O_x=X_e+I; \\ {O}_y=Y_e+J; \end{gathered}$$

• 绝对圆弧中心

$$\begin{gathered} O_x=I; \\ {O}_y=J; \end{gathered}$$

R模式

G02 X20 Y10 R10 F300

注意相同的起点、终点、半径和方向，计算出来的圆心可能有两种。其中，

• R>0时，圆弧和中心的夹角小于180°，即圆弧段小于或等于半圆；
• R<0时，圆弧和中心的夹角大于180°，即圆弧段大于半圆。

例如下图，G02指令时，如果R>0时，圆心是黑色圆的，如果R<0，则应该是黄色的圆。

以下图片是我画的分析用的简易图，方便自己理解如何计算出圆心的方法。假设以下是G02圆弧，起点为C，终点为D，半径为R，加粗圆弧部分是实际路径。

计算

假设存在上面的情况，已知起点C(X_c, Y_c)， 终点D(X_d, Y_d)，半径R。

1. 连接CD，求得中点A(X_a, Y_a)

$$\begin{gathered} X_a=\frac{(X_c+X_d)}{2} \\ {Y}_a=\frac{(Y_c+Y_d)}{2}\text{\hspace{1em}(1)} \end{gathered}$$

2. 现在可以得到向量$\overrightarrow{AC}$的单位向量了
   $$\begin{gathered} |\overrightarrow{AC}|=\sqrt{(X_a?X_c{)}^2+(Y_a?Y_c{)}^2} \\ \widehat{AC}=\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}\text{\hspace{1em}(2)} \end{gathered}$$

3. 圆上两点连线的中垂线必过圆心，这是个知识点，然后根据直角三角关系，可以知道(AO)² = R² - (AC)²，下面用向量的方式表示，后面会用到。

$$|\overrightarrow{AO}|=\sqrt{R^2?|\overrightarrow{AC}{|}^2}\text{\hspace{1em}(3)}$$

4. 现在只需要将单位向量$\widehat{AC}$，旋转90°后就是向量$\overrightarrow{AO}$的单位向量（这个没问题吧），如果旋转-90°就是向量$\overrightarrow{AP}$的单位向量，然后乘以AO的长度就得到圆心了，两种情况的圆心都可以认为是对的。

$$\overrightarrow{AO}=\widehat{AO}?|\overrightarrow{AO}|\text{\hspace{1em}(4)}$$

R模式实际算法省略，因为经验有限，我并没有遇到过这个情况，当前仅讨论这个情况下计算出圆心的理论算法。

圆弧夹角的计算

这个地方，我感觉相对是比较麻烦的，因为必须要考虑圆弧方向，角度的值域范围，并不能简单粗暴的$终点角度?起点角度$。

#define 	PI 		3.1415926535897932384626433
#define 	EPS 	0.000001

//!< 基础点
struct Point
{
	double x;
    double y;
};
typedef Point Vector;


//!< 计算角度，值域[-π, π]，这个很重要
double getAngle(const Point& p1, const Point& p2)
{
    return atan2f((p2.y - p1.y), (p2.x - p1.x));
}
//!< 计算两向量夹角
float calc2VecAngle(const Vector& v1, const Vector& v2, const int& isCw)
{
    //!< atan2 计算得到的弧度范围是[-PI, PI]，可以转换成[0, 2 * PI]来计算
    float startAngNew = atan2f(v1.y, v1.x);
    float startAngNew2 = atan2f(v2.y, v2.x);

    if (startAngNew < EPS)
        startAngNew += 2 * PI;
    if (startAngNew2 < EPS)
        startAngNew2 += 2 * PI;

    float sweepNew = abs(startAngNew - startAngNew2);
    if (isCw != 0)
    {
        //!< 两向量之间的夹角，需要根据顺/逆时针，和所处角度象限判断
        if (startAngNew < startAngNew2 && isCw > EPS ||
            startAngNew > startAngNew2 && isCw < EPS)
        {
            sweepNew = abs(2 * PI - abs(sweepNew));
        }
    }
    return sweepNew;
}

//!< 已知圆弧，圆心，起点，终点，方向，计算出圆弧夹角（弧度制） 
//!< 
void calcArcAngle(Point center, Point s, Point e, bool isClockWise, double& angle)
{
    //!< 起点终点相同的情况，就是个整圆
    if (s == e)
    {
        angle = PI * 2;
    }
    else
    {
        Vector v1, v2;
        v1.x = start.x - center.x;
        v1.y = start.y - center.y;

        v2.x = end.x - center.x;
        v2.y = end.y - center.y;

        angle = calc2VecAngle(v1, v2, (cw ? 1 : -1));
    }
}

解析实现效果

最后

感谢各位大佬的无私奉献。