智能反射面——恒模约束及代码实现

解决恒模约束

恒模约束常出现在、智能反射面、混合波束形成等问题，是一种比较常见的非凸约束，对于这种约束的优化问题， 有很多种近似求解算法，比如SDR（半定松弛算法）。
$$\begin{gathered} ma{x}_x{x}^{H}Ax \\ s.t|x_i|=1,?i \end{gathered}$$
其中A是半正定矩阵，目标函数是凸函数，约束时非凸的，定义矩阵$\mathbf{X}=\mathbf{x}{\mathbf{x}}^H(\mathbf{X}?0,rank(\mathbf{X})=1)$，优化问题（1）可以变为：
$$\begin{gathered} ma{x}_X\text{Tr}(AX) \\ s.tX(i,i)=1,?i \\ X\ge 0 \\ rank(X)=1 \end{gathered}$$
针对优化问题(2)，常常采用SDR算法松弛秩一约束，将其转换为SDP问题
$$\begin{gathered} ma{x}_X\text{Tr}(AX) \\ s.tX(i,i)=1,?i \\ X\ge 0 \end{gathered}$$
该问题可以通过CVX进行求解。但是求得的解 $\mathbf{X}^* $未必是秩一的，通常采用高斯随机化的方法来获得一个高质量的秩一次优解。**高斯随机化得到的次优解未必满足其他约束，**这是SDR算法的缺点，后续有很多改进的SDR算法来克服这一缺点。

现在可以尝试使用下述方法进行求解。秩一约束可以被转换为下述凸约束：
$${\lambda }_{max}(\mathbf{X})\ge w_{(i)}\text{Tr}(\mathbf{X})$$
其中$\lambda_{max}(\mathbf{X}) $表示$\mathbf{X}$最大特征值，并且$w_{(i)}\in[0,1]$是松弛参数。

当$w_{(i)}=0$ , 公式(4)意味着${\lambda }_{max}(\mathbf{X})\ge 0$，等价于采用SDR算法松弛了秩一约束。

当$w_{(i)}=1$，公式(4)意味着 $\lambda_{max}(\mathbf{X}) \geq \text{Tr}(\mathbf{X}) $，即满足了秩一约束。

因此问题(2)可以重写为：
m a x