【动态规划精选题目】2、路径问题模型

此动态规划系列主要讲解大约10个系列【后续持续更新】

本篇讲解路径问题模型中的6道经典题，会在讲解题目同时给出AC代码

目录

?1、不同路径

2、不同路径2

3、珠宝的最大价值

4、下降路径最小和

5、最小路径和

6、地下城游戏

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?

?1、不同路径

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int> (n + 1));
        dp[0][1] = 1;//此位置的虚拟节点的初始化为1，方便后续计算
        for (int i = 1; i <= m; i++)//从上到下遍历每一行
            for (int j = 1; j <= n; j++)//从左到右填写每一行
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];

        return dp[m][n];
    }
};

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2、不同路径2

class Solution {
public:
    int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& ob) {
            int m = ob.size(), n = ob[0].size();
            vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int> (n + 1));
            dp[1][0] = 1;//虚拟节点设置为1
            for (int i = 1; i <= m; i++)
                for(int j = 1; j <= n; j++)
                    if(ob[i - 1][j - 1] != 1)
                        dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
            
            return dp[m][n];
    }
};

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3、珠宝的最大价值

?

class Solution {
public:
    int jewelleryValue(vector<vector<int>>& frame) {
        int m = frame.size(), n = frame[0].size();
        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1));//会自动初始化为0

        for(int i = 1; i <= m; i++)
            for(int j = 1; j <= n; j++)
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + frame[i - 1][j - 1];
                //因为设置虚拟节点，则frame[i-1][j-1]，-1后拿到的才是原位置的价值
        
        return dp[m][n];
    }
};

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4、下降路径最小和

class Solution {
public:
    int minFallingPathSum(vector<vector<int>>& matrix) {
        int n = matrix.size();//方阵
        vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(n + 2, INT_MAX));
        //INT_MAX表示一个 32 位符号整数所能够表示的最大值

        //初始化第一行
        for (int i = 0; i < n + 2; i++) dp[0][i] = 0;

        for (int i = 1; i <= n; i++)
            for (int j = 1; j <= n; j++)
                 dp[i][j] = min(dp[i - 1][j - 1], min(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j + 1]))
                             +matrix[i - 1][j - 1];

        int minimum = INT_MAX;
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            minimum = min(minimum, dp[n][i]);

        return minimum;
    }
};

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5、最小路径和

?

class Solution {
public:
    int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) {
        int m = grid.size(), n = grid[0].size();
        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1, INT_MAX));
        dp[0][1] = dp[1][0] = 0;

        for (int i = 1; i <= m; i++)
            for (int j = 1; j <= n; j++)
                dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i - 1][j - 1];

        return dp[m][n];
    }
};

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6、地下城游戏

分析题目，模拟示例1：

?

2、状态转移方程?

怎样能从 ( i, j ) 位置正确进入到 ( i, j + 1 ) 位置呢？因为dp表里存的是从某个位置出发到终点时的最低血量. 故假设 ( i, j ) 位置此时最低初始血量为 X, 想要走出这个位置就需要先击败里面的恶魔 dungeon[i][j], 之后剩余血量 X + dungeon[i][j]【但也不排除dungeon[i][j]位置是血包，但不影响结果】 也就走出（i, j）位置后的血量必须>=?( i, j+1 ) 的最低初始血量 dp[i][j+1] 才能进入, 否则无法到达终点.当 X + dungeon[i][j] >= dp[i][j+1] 时才有机会到达终点. 题目要求最低初始血量, 取等时即可。

此时所需dp[i][j+1] - dungeon[i][j]

同理，从 ( i, j ) 位置到?( i+1, j ) 位置后想要到达终点所需要的最低初始血量为

dp[i+1][j] - dungeon[i][j]

由于我们求的是从某点出发到终点的最低初始血量, 所以

状态转移方程：dp[i][j] = min(dp[i][j+1], dp[i+1][j] ) - dungeon[i][j]

注意:当 dungeon[i][j] 非常大时, dp[i][j] 最终会是一个< 0 的数。【但最低血量<=0都是会die的】

即( i, j ) 位置里面有个非常大的血包(dungeon[i][j])，此时从( i, j ) 位置走出去就是是负数了，可是按理说应该已经die了，不能走到下一位置了(dp[i][j+1],或dp[i+1][j])。那么这里就是没有考虑血包很大的问题，只是考虑了部分情况，按理说血包很大是可以走出去的，这是算是误判了，故必须保证在走出?( i, j ) 位置后它的血量>?0。

因此最终需对dp[i][j]进行处理，dp[i][j] = max( 1, dp[i][j]?

class Solution {
public:
    int calculateMinimumHP(vector<vector<int>>& dungeon) {
        int m = dungeon.size(), n = dungeon[0].size();
        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1, INT_MAX));
        dp[m][n - 1] = dp[m - 1][n] = 1;

        for (int i = m - 1; i >= 0; i--)
            for (int j = n - 1; j >= 0; j--)
            {
                dp[i][j] = min(dp[i][j + 1], dp[i + 1][j]) - dungeon[i][j];
                dp[i][j] = max(1, dp[i][j]);
            }
        return dp[0][0];
    }
};

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