奈奎斯特-香农采样定理的理解(结合cos(8.5t)和傅里叶变换)

发布时间:2024年01月15日

采样定理,通常被称为奈奎斯特-香农采样定理,是信号处理中的一个基本原则。它解释了如何从连续信号中采样以便在后续能完全重构原始信号。以下是该定理的核心要点:

  • 采样定理的陈述
  • 为了从其样本中无失真地重构一个连续时间信号,采样频率(采样率)必须至少是信号中最高频率成分的两倍。这个最低的采样频率被称为“奈奎斯特频率”。
  • 为什么需要奈奎斯特频率
  • 如果采样频率低于信号最高频率的两倍,就会发生**“混叠”现象**。混叠是指高频信号在低采样率下被错误地解释为低频信号,导致原始信号的失真。
  • 实际应用
  • 在实际应用中,通常会选择略高于理论奈奎斯特频率的采样率,以确保信号能被准确重构,特别是当信号接近最高频率成分时。
  • 例子
  • 假设一个信号包含的最高频率成分为 3000 Hz,那么根据采样定理,采样频率应至少为 6000 Hz(或6 kHz)。在实践中,可能会选择更高的采样率,例如 8000 Hz,来确保信号的准确重构。

实践一下

假设我们有个时域的连续信号cos(8.5t),接下来要设置一个时间1秒,对它进行该时间内的信号采样,然后对其进行傅里叶变换到频域,频域得到的结果应该是在8.5hz有明显的突变。按照采样定理,我们应该设置大于8.52的采样频率,我们先设置1个低于8.52的采样频率10,反变换前后结果如下:
在这里插入图片描述在这里插入图片描述频域结果在2HZ,与8.5hz完全不符,说明采样频率过低会导致频域结果完全失真。
再设置1个正好等于8.52的采样频率17,反变换前后结果如下:
在这里插入图片描述在这里插入图片描述显示在7的位置,相比于之前靠近8.5了,但是还是不准确。
再设置1个稍微大于8.5
2的采样频率20,反变换前后结果如下:
在这里插入图片描述在这里插入图片描述显示在8的位置,相比于之前更靠近8.5了,但是还是不准确。
再设置1个大于8.5*2的采样频率50,反变换前后结果如下:
在这里插入图片描述在这里插入图片描述显示在9的位置,依旧靠近8.5了,但是还是不准确。此时将频率打印出来,[ 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24.],没有8.5,所以继续加大采样频率,设置采样频率100。
在这里插入图片描述在这里插入图片描述此时出现一个分辨率问题。补充知识:

  • 时域采样率决定了频域中可分辨的最大频率(奈奎斯特频率)
Fmax=时域采样频率ft(HZ)/2
  • 频域的采样间隔(频率分辨率)取决于时域中信号的总持续时间 Tall
频率分辨率Δf=1/T_all

本例中我们设置的总时间T_all是1秒,100次采样,也就是ft=100,那


频率分辨率Δf=1/T_all=1/1=1
点数N=100*1=100
时间分辨率Δt=1/ft=1/100=0.01

频域的采样间隔只和总时间T_all有关。频率分辨率是1,所以不会出现8.5hz,所以我们设置总时间是2秒重新进行一次实验仿真。
此时

频率分辨率Δf=1/T_all=1/2=0.5
点数N=100*2=200
时间分辨率Δt=1/ft=1/100=0.01

先设置1个低于8.52的采样频率10,频率范围:[0. 0.5 1. 1.5 2. 2.5 3. 3.5 4. 4.5 5. 5.5 6. 6.5 7. 7.5 8. ]
在这里插入图片描述在这里插入图片描述然后设置1个等于8.5
2的采样频率17,频率范围:[0. 0.5 1. 1.5 2. 2.5 3. 3.5 4. 4.5 5. 5.5 6. 6.5 7. 7.5 8. 8.5 9. 9.5],可以看到这次8.5hz是准确的。
在这里插入图片描述在这里插入图片描述然后设置1个略大于8.5*2的采样频率20,频率范围:[0. 0.5 1. 1.5 2. 2.5 3. 3.5 4. 4.5 5. 5.5 6. 6.5 7. 7.5 8. 8.5 9. 9.5]
在这里插入图片描述在这里插入图片描述再设置50hz,也能准确找到8.5HZ
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述再设置100hz,也能准确找到8.5HZ
在这里插入图片描述在这里插入图片描述

文章来源:https://blog.csdn.net/xiaofeixia002X/article/details/135597587
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