微积分-第四章极限-1

第四章 极限

4.1 极限的基本思想

考虑函数$f(x)=2x$。当$x$趋向于2时$f(x)$会趋向与何值？显而易见的是函数$f$在$x=2$处有定义。所以我们可以说当$x$趋向于2时$f(x)$趋向于4。
我们可以直接写出
$$\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=f(2)=4$$
$\lim$是极限的符号，这个极限式子表示当$x$趋向于2时$f(x)$趋向于6。 它读作“当$x$ 趋向于2时，$f(x)$的极限值等于4”。

让我们对$f(x)=2x$的定义域做一点限制，让$x\ne 2$ 。此时我们就不能说
$$\underset{x\to 2}{\lim }f(x)\ne f(2)$$

因为$2$不在函数的定义域内，$f(2)$是无定义的。让我们画出它的图像

从图中可以清楚的看到当$x\to 2$时，函数值越来越接近于4,但是永远不会是4。因为$x\ne 2$。我们也可以找一些接近于2的值，如$f(1.999)=3.998$,我们还可以更接近$f(1.99999)=3.99998$。 我们会发现当$x$ 越来越接近于2时，$f(x)$会越来越来接近4。我们可以说
$$\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=4$$

不严谨的来说，极限就是当$x\to a$时,$f(x)$趋向何值。其中a是一个实数。

在数学中，极限的定义是更为严格的。在形式上，我们说当$x$趋向于$a$时，$f(x)$的极限是$L$，如果对于任何给定的正数$?$，存在一个正数$\delta$，使得当$0<|x?a|<\delta$时，都有$|f(x)?L|<?$。这是极限的ε-δ定义
未完待续
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