【算法】最短网络（Kruskal算法）

题目

农夫约翰被选为他们镇的镇长！

他其中一个竞选承诺就是在镇上建立起互联网，并连接到所有的农场。

约翰已经给他的农场安排了一条高速的网络线路，他想把这条线路共享给其他农场。

约翰的农场的编号是1，其他农场的编号是?2～n。

为了使花费最少，他希望用于连接所有的农场的光纤总长度尽可能短。

你将得到一份各农场之间连接距离的列表，你必须找出能连接所有农场并使所用光纤最短的方案。

输入格式

第一行包含一个整数?n，表示农场个数。

接下来?n?行，每行包含?n?个整数，输入一个对角线上全是0的对称矩阵。
其中第?x+1?行?y?列的整数表示连接农场?x?和农场?y?所需要的光纤长度。

输出格式

输出一个整数，表示所需的最小光纤长度。

数据范围

3≤n≤100
每两个农场间的距离均是非负整数且不超过100000。

输入样例：

4
0  4  9  21
4  0  8  17
9  8  0  16
21 17 16  0

输出样例：

28

思路

使用小根堆储存所有的边（L 边长，x 端点1，y 端点2），初始状态所有点的祖先都为其本身。

依次拿出小根堆中边长最小的边，如果两个端点x，y的祖先find(x) == find(y)【祖先相同】，则不做任何操作，如果find(x) !=? find(y) 【祖先不同】则将x的祖先节点的祖先节点变为y的祖先节点，最终答案加上 L 。

循环上述操作，直到小根堆中没有任何边，输出答案。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef pair<int,pair<int,int>> PII;
const int N = 1e2 + 10,M = N * N;
int n;
int g[N][N];
priority_queue<PII,vector<PII>,greater<PII>> heap;
int p[N];// 存储祖先节点

int find(int x)
{
    if(x != p[x]) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

int main()
{
    cin >> n;
    for(int i = 0; i <= n; i ++) p[i] = i;// 初始状态所有点的祖先节点都为其本身
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
        for(int j = 1; j <= n; j ++)
        {
            cin >> g[i][j];
            heap.push({g[i][j],{i,j}});
        }
    int ans = 0;
    while(!heap.empty())
    {
        auto t = heap.top();
        heap.pop();
        int x = find(t.second.first);
        int y = find(t.second.second);
        int dist = t.first;
        if(x == y) continue;
        else
        {
            ans += dist;
            p[x] = y;
        }
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

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