程序员优劣之间最明显的就是数据结构和算法的掌握程度,二叉树作为数据结构中不可缺少的一员,可见其重要程度.我们一起来简单地学习二叉树吧~
在我们学习二叉树前先了解一下树型结构(二叉树是树型结构中的一种)
树是一种非线性的数据结构,它是有n (n>=0) 个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树,也就是说它是根朝上,而叶朝下的。它具有以下的特点:
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树型结构有很多专业名词需要我们熟知:
结点的度:一个结点含有子树的个数称为该结点的度; 如上图:A的度为6
树的度:一棵树中,所有结点度的最大值称为树的度; 如上图:树的度为6
叶子结点或终端结点:度为0的结点称为叶结点; 如上图:B、C、H、I...等节点为叶结点
双亲结点或父结点:若一个结点含有子结点,则这个结点称为其子结点的父结点; 如上图:A是B的父结点
孩子结点或子结点:一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点; 如上图:B是A的孩子结点
根结点:一棵树中,没有双亲结点(父节点)的结点;如上图:A
结点的层次:从根开始定义起,根为第1层,根的子结点为第2层,以此类推
树的高度:树中结点的最大层次; 如上图:树的高度为4
树的以下概念只需了解,在看书时只要知道是什么意思即可:
非终端结点或分支结点:度不为0的结点; 如上图:D、E、F、G...等节点为分支结点
兄弟结点:具有相同父结点的结点互称为兄弟结点; 如上图:B、C是兄弟结点
堂兄弟结点:双亲在同一层的结点互为堂兄弟;如上图:H、I互为兄弟结点
结点的祖先:从根到该结点所经分支上的所有结点;如上图:A是所有结点的祖先
子孙:以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图:所有结点都是A的子孙
森林:由m(m>=0)棵互不相交的树组成的集合称为森林
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一棵二叉树是结点的一个有限集合,该集合:
????????1. 或者为空
????????2. 或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。
从上图可以看出:
????????1. 二叉树不存在度大于2的结点
????????2. 二叉树的子树有左右之分,次序不能颠倒,因此二叉树是有序树
注意:对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的:
大自然的奇观:
1. 满二叉树: 一棵二叉树,如果每层的结点数都达到最大值,则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说,如果一棵二叉树的层数为K,且结点总数是 ,则它就是满二叉树。
2. 完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构,完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的,有n个结点的二叉树,当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
- 若i>0,双亲序号:(i-1)/2;i=0,i为根结点编号,无双亲结点
- 若2i+1<n,左孩子序号:2i+1,否则无左孩子
- 若2i+2<n,右孩子序号:2i+2,否则无右孩子
二叉树的存储结构分为:顺序存储和类似于链表的链式存储。
顺序存储在下节介绍。
二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的,常见的表示方式有二叉和三叉表示方式,具体如下:
// 孩子表示法
class Node {
int val; // 数据域
Node left; // 左孩子的引用,常常代表左孩子为根的整棵左子树
Node right; // 右孩子的引用,常常代表右孩子为根的整棵右子树
}
// 孩子双亲表示法
class Node {
int val; // 数据域
Node left; // 左孩子的引用,常常代表左孩子为根的整棵左子树
Node right; // 右孩子的引用,常常代表右孩子为根的整棵右子树
Node parent; // 当前节点的根节点
}
在这里我们用最原始(手动拼接各个节点)的方法进行二叉树的构建
public class BinaryTree{
public static class BTNode{//定义我们的二叉树
BTNode left;//二叉树的左子树
BTNode right;//二叉树的右子树
int value;//当前节点存储的值
BTNode(int value){
this.value = value;
}
}
private BTNode root;//定义一整颗树
public void createBinaryTree(){
BTNode node1 = new BTNode(1);//实例化五个节点
BTNode node1 = new BTNode(2);
BTNode node1 = new BTNode(3);
BTNode node1 = new BTNode(4);
BTNode node1 = new BTNode(5);
BTNode node1 = new BTNode(6);
root = node1;
node1.left = node2;//进行手动的拼接
node2.left = node3;
node1.right = node4;
node4.left = node5;
node5.right = node6;
}
}
在遍历二叉树时,如果没有进行某种约定,每个人都按照自己的方式遍历,得出的结果就比较混乱,如果按照某种规则进行约定,则每个人对于同一棵树的遍历结果肯定是相同的。如果N代表根节点,L代表根节点的左子树,R代表根节点的右子树,则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式:
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层序遍历:除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外,还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在层数为1,层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发,首先访问第一层的树根节点,然后从左到右访问第2层上的节点,接着是第三层的节点,以此类推,自上而下,自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。
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