Java_二叉树详解

发布时间:2024年01月18日

前言

程序员优劣之间最明显的就是数据结构和算法的掌握程度,二叉树作为数据结构中不可缺少的一员,可见其重要程度.我们一起来简单地学习二叉树吧~

树型结构

在我们学习二叉树前先了解一下树型结构(二叉树是树型结构中的一种)

树是一种非线性的数据结构,它是有n (n>=0) 个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树,也就是说它是根朝上,而叶朝下的。它具有以下的特点:

  • 有一个特殊的结点,称为根结点,根结点没有前驱结点
  • 除根结点外,其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm,其中每一个集合Ti (1 <= i <=m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱,可以有0个或多个后继
  • 树是递归定义的
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概念(重要)

树型结构有很多专业名词需要我们熟知:

结点的度:一个结点含有子树的个数称为该结点的度; 如上图:A的度为6
树的度:一棵树中,所有结点度的最大值称为树的度; 如上图:树的度为6
叶子结点或终端结点:度为0的结点称为叶结点; 如上图:B、C、H、I...等节点为叶结点
双亲结点或父结点:若一个结点含有子结点,则这个结点称为其子结点的父结点; 如上图:A是B的父结点
孩子结点或子结点:一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点; 如上图:B是A的孩子结点
根结点:一棵树中,没有双亲结点(父节点)的结点;如上图:A
结点的层次:从根开始定义起,根为第1层,根的子结点为第2层,以此类推
树的高度:树中结点的最大层次; 如上图:树的高度为4

树的以下概念只需了解,在看书时只要知道是什么意思即可:

非终端结点或分支结点:度不为0的结点; 如上图:D、E、F、G...等节点为分支结点
兄弟结点:具有相同父结点的结点互称为兄弟结点; 如上图:B、C是兄弟结点
堂兄弟结点:双亲在同一层的结点互为堂兄弟;如上图:H、I互为兄弟结点
结点的祖先:从根到该结点所经分支上的所有结点;如上图:A是所有结点的祖先
子孙:以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图:所有结点都是A的子孙
森林:由m(m>=0)棵互不相交的树组成的集合称为森林
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二叉树

概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合,该集合:
????????1. 或者为空
????????2. 或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树右子树的二叉树组成。

从上图可以看出:
????????1. 二叉树不存在度大于2的结点
????????2. 二叉树的子树有左右之分,次序不能颠倒,因此二叉树是有序树


注意:对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的:

大自然的奇观:

两种特殊二叉树

1. 满二叉树: 一棵二叉树,如果每层的结点数都达到最大值,则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说,如果一棵二叉树的层数为K且结点总数是 2^k-1,则它就是满二叉树
2. 完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构,完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的,有n个结点的二叉树,当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

二叉树的性质

  1. 若规定根结点的层数为1,则一棵非空二叉树的第i层上最多有 (i>0)个结点
  2. 若规定只有根结点的二叉树的深度为1,则深度为K的二叉树的最大结点数是 (k>=0)
  3. 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0=n2+1
  4. 具有n个结点的完全二叉树的深度k为 上取整
  5. 对于具有n个结点的完全二叉树,如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号,则对于序号为i的结点有:
  • 若i>0,双亲序号:(i-1)/2;i=0,i为根结点编号,无双亲结点
  • 若2i+1<n,左孩子序号:2i+1,否则无左孩子
  • 若2i+2<n,右孩子序号:2i+2,否则无右孩子

二叉树的存储

二叉树的存储结构分为:顺序存储类似于链表的链式存储
顺序存储在下节介绍。
二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的,常见的表示方式有二叉和三叉表示方式,具体如下:

// 孩子表示法
class Node {
    int val; // 数据域
    Node left; // 左孩子的引用,常常代表左孩子为根的整棵左子树
    Node right; // 右孩子的引用,常常代表右孩子为根的整棵右子树
} 
// 孩子双亲表示法
class Node {
    int val; // 数据域
    Node left; // 左孩子的引用,常常代表左孩子为根的整棵左子树
    Node right; // 右孩子的引用,常常代表右孩子为根的整棵右子树
    Node parent; // 当前节点的根节点
}

二叉树的基本操作

在这里我们用最原始(手动拼接各个节点)的方法进行二叉树的构建

public class BinaryTree{
    public static class BTNode{//定义我们的二叉树
        BTNode left;//二叉树的左子树
        BTNode right;//二叉树的右子树
        int value;//当前节点存储的值
        BTNode(int value){
            this.value = value;
        }
    }
    private BTNode root;//定义一整颗树
    public void createBinaryTree(){
        BTNode node1 = new BTNode(1);//实例化五个节点
        BTNode node1 = new BTNode(2);
        BTNode node1 = new BTNode(3);
        BTNode node1 = new BTNode(4);
        BTNode node1 = new BTNode(5);
        BTNode node1 = new BTNode(6);
        root = node1;
        node1.left = node2;//进行手动的拼接
        node2.left = node3;
        node1.right = node4;
        node4.left = node5;
        node5.right = node6;
    }
}

二叉树的遍历

1. 前中后序遍历

在遍历二叉树时,如果没有进行某种约定,每个人都按照自己的方式遍历,得出的结果就比较混乱,如果按照某种规则进行约定,则每个人对于同一棵树的遍历结果肯定是相同的。如果N代表根节点,L代表根节点的左子树,R代表根节点的右子树,则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式:

  • NLR:前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点--->根的左子树--->根的右子树。
  • LNR:中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树--->根节点--->根的右子树。
  • LRN:后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树--->根的右子树--->根节点
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2.层次遍历

层序遍历:除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外,还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在层数为1,层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发,首先访问第一层的树根节点,然后从左到右访问第2层上的节点,接着是第三层的节点,以此类推,自上而下,自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。

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文章来源:https://blog.csdn.net/qq_48858380/article/details/135247289
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