Open CASCADE学习|参数化球面的奇异性

发布时间:2024年01月12日

参数曲面的奇异性是一个相对复杂的概念,它涉及到参数曲面的几何特性和参数化过程中的一些特殊情况。参数曲面通常用于描述三维空间中的复杂形状,通过参数方程将二维参数域映射到三维空间中。然而,在某些情况下,参数曲面可能会表现出奇异性,即参数映射不再是一对一的或者曲面上的某些点无法正常表示。

参数曲面的奇异性可以分为几种类型,包括但不限于以下几种情况:

自交点:参数曲面上的不同参数可能对应到三维空间中的同一个点,导致曲面在自交点处不再是单射的。这种情况下,参数化失去了唯一性,自交点附近的区域可能会产生几何上的扭曲或变形。

折叠或褶皱:参数曲面在某些区域可能会发生折叠或褶皱现象,即曲面上的相邻点被映射到三维空间中的远离位置。这种情况下,曲面的法向量可能会突然改变方向,导致几何上的不连续性和可视化上的问题。

奇异点或奇异曲线:参数曲面上可能存在一些特殊的点或曲线,称为奇异点或奇异曲线。在这些位置,曲面的几何属性(如法向量、曲率等)可能会变得无限大或无法定义,导致曲面在这些位置失去光滑性。

奇异性对于参数曲面的应用和分析具有重要影响。在几何建模、计算机图形学和物理模拟等领域,奇异性的存在可能导致计算错误、渲染问题或模拟失真。因此,在设计和处理参数曲面时,需要特别关注奇异性的检测和避免,以确保曲面的几何正确性和应用的可靠性。

为了避免奇异性,可以采取一些策略,如选择合适的参数化方法、优化参数化过程、使用适当的约束条件等。此外,对于已经存在奇异性的参数曲面,可以尝试进行修复或平滑处理,以恢复曲面的几何连续性和光滑性。

在OpenCascade中球面的参数方程为:

分别沿u,v方向求偏导矢,即分别沿经线和纬线的速度矢量,得:

?

??

曲面在一点处存在法矢及相应切平面是曲面的几何性质,与曲面的参数化无关。因此,尽管不同的参数化会产生不同的偏导矢,但只要u或v方向上的切矢都不为零,则将u,v的切矢叉乘单位化后的法向是都是相同的。OpenCascade中的球面,对于所有的u∈[0, 2π]有:

即Su在球面的北极和南极消失(为零矢量),对应v=-π/2和v=π/2时的两个边就分别退化(Degenerated)成两个点。很明显,球面在两个极点的法矢确实是存在的,但在这种参数化之下,无法用上述方法来计算它的法向量。

#define WNT
#include <TopoDS.hxx>
#include <TopExp.hxx>
#include <TopExp_Explorer.hxx>
#include <BRepPrimAPI_MakeSphere.hxx>
?
#include <TopTools_ListIteratorOfListOfShape.hxx>
#include <TopTools_IndexedDataMapOfShapeListOfShape.hxx>
?
/**
* @breif Find the face for the given edge, i.e the face which the given edge is on it.
*/
TopoDS_Face FindFaceOfEdge(const TopoDS_Shape& theShape, const TopoDS_Edge& theEdge)
{
    TopoDS_Face theFace;
?
    TopTools_IndexedDataMapOfShapeListOfShape theMap;
    TopExp::MapShapesAndAncestors(theShape, TopAbs_EDGE, TopAbs_FACE, theMap);
?
    const TopTools_ListOfShape& theFaces = theMap.FindFromKey(theEdge);
    TopTools_ListIteratorOfListOfShape theIterator(theFaces);
?
    for (theIterator.Initialize(theFaces); theIterator.More(); theIterator.Next())
    {
        theFace = TopoDS::Face(theIterator.Value());
    }
    return theFace;
}
?
void TestSingularity(void)
{
    TopoDS_Shape theSphere = BRepPrimAPI_MakeSphere(1.0);
?
    for (TopExp_Explorer edgeExp(theSphere, TopAbs_EDGE); edgeExp.More(); edgeExp.Next())
    {
        const TopoDS_Edge anEdge = TopoDS::Edge(edgeExp.Current());
?
        Standard_Real aFirst = 0.0;
        Standard_Real aLast = 0.0;
?
        gp_Pnt2d U1V1;
        gp_Pnt2d U2V2;
?
        Standard_Boolean IsDegenerated = BRep_Tool::Degenerated(anEdge);
?
        BRep_Tool::Range(anEdge, aFirst, aLast);
        BRep_Tool::UVPoints(anEdge, FindFaceOfEdge(theSphere, anEdge), U1V1, U2V2);
?
        std::cout << "Edge is Degenerated: " << (IsDegenerated ? "True" : "False") << std::endl;
        std::cout << "Edge parameters on face: " << std::endl;
        std::cout << "  (" << U1V1.X() << ", " << U1V1.Y() << ")" << std::endl;
        std::cout << "  (" << U2V2.X() << ", " << U2V2.Y() << ")" << std::endl;
        std::cout << std::endl;
    }
}
?
int main(int argc, char* argv[])
{
    TestSingularity();
    return 0;
}
?

?

Edge is Degenerated: True

Edge parameters on face:

(0, 1.5708)

(6.28319, 1.5708)

Edge is Degenerated: False

Edge parameters on face:

(6.28319, -1.5708)

(6.28319, 1.5708)

Edge is Degenerated: True

Edge parameters on face:

(0, -1.5708)

(6.28319, -1.5708)

Edge is Degenerated: False

Edge parameters on face:

(0, -1.5708)

(0, 1.5708)

文章来源:https://blog.csdn.net/T20151470/article/details/135541344
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