Leetcode算法系列| 12. 整数转罗马数字

1.题目

罗马数字包含以下七种字符： I， V， X， L，C，D 和 M。
字符 数值
I 1
V 5
X 10
L 50
C 100
D 500
M 1000

• 例如， 罗马数字 2 写做 II ，即为两个并列的 1。12 写做 XII ，即为 X + II 。 27 写做 XXVII, 即为 XX + V + II 。

• 通常情况下，罗马数字中小的数字在大的数字的右边。但也存在特例，例如 4 不写做 IIII，而是 IV。数字 1 在数字 5 的左边，所表示的数等于大数 5 减小数 1 得到的数值 4 。同样地，数字 9 表示为 IX。这个特殊的规则只适用于以下六种情况：

  • I 可以放在 V (5) 和 X (10) 的左边，来表示 4 和 9。
  • X 可以放在 L (50) 和 C (100) 的左边，来表示 40 和 90。
  • C 可以放在 D (500) 和 M (1000) 的左边，来表示 400 和 900。

• 给你一个整数，将其转为罗马数字。

• 示例1:

输入: num = 3
输出: "III"

• 示例 2：

输入: num = 4
输出: "IV"

• 示例 3：

输入: num = 9
输出: "IX"

• 示例 4：

输入: num = 58
输出: "LVIII"
解释: L = 50, V = 5, III = 3.

• 示例 5：

输入: num = 1994
输出: "MCMXCIV"
解释: M = 1000, CM = 900, XC = 90, IV = 4.

• 提示：
  • 1 <= num <= 3999

2.题解

C# 解法一：模拟

• 根据罗马数字的唯一表示法，为了表示一个给定的整数num，我们寻找不超过 num 的最大符号值，将 num 减去该符号值，然后继续寻找不超过 num 的最大符号值，将该符号拼接在上一个找到的符号之后，循环直至 num 为 0。最后得到的字符串即为num 的罗马数字表示。
  编程时，可以建立一个数值-符号对的列表 valueSymbols，按数值从大到小排列。遍历 valueSymbols 中的每个数值-符号对，若当前数值value 不超过 num，则从num 中不断减去 value，直至 num 小于 value，然后遍历下一个数值-符号对。若遍历中 num 为 0 则跳出循环。

public class Solution {
   readonly Tuple<int, string>[] valueSymbols = {
       new Tuple<int, string>(1000, "M"),
       new Tuple<int, string>(900, "CM"),
       new Tuple<int, string>(500, "D"),
       new Tuple<int, string>(400, "CD"),
       new Tuple<int, string>(100, "C"),
       new Tuple<int, string>(90, "XC"),
       new Tuple<int, string>(50, "L"),
       new Tuple<int, string>(40, "XL"),
       new Tuple<int, string>(10, "X"),
       new Tuple<int, string>(9, "IX"),
       new Tuple<int, string>(5, "V"),
       new Tuple<int, string>(4, "IV"),
       new Tuple<int, string>(1, "I")
   };

   public string IntToRoman(int num) {
       StringBuilder roman = new StringBuilder();
       foreach (Tuple<int, string> tuple in valueSymbols) {
           int value = tuple.Item1;
           string symbol = tuple.Item2;
           while (num >= value) {
               num -= value;
               roman.Append(symbol);
           }
           if (num == 0) {
               break;
           }
       }
       return roman.ToString();
   }
}

• 时间复杂度：O(1)

  • 有由于 valueSymbols 长度是固定的，且这 13 字符中的每个字符的出现次数均不会超过 3，因此循环次数有一个确定的上限。对于本题给出的数据范围，循环次数不会超过 15 次。

• 空间复杂度：O(1)

C# 解法二：硬编码数字

• 回顾前言中列出的这 13 个符号，可以发现：

  • 千位数字只能由 M 表示；
  • 百位数字只能由 C，CD，D 和 CM 表示；
  • 十位数字只能由 X，XL，L 和 XC 表示；
  • 个位数字只能由 I，IV，V 和 IX 表示。

• 这恰好把这 13 个符号分为四组，且组与组之间没有公共的符号。因此，整数 num 的十进制表示中的每一个数字都是可以单独处理的。

• 进一步地，我们可以计算出每个数字在每个位上的表示形式，整理成一张硬编码表。如下图所示，其中 0 对应的是空字符串。
  

• 利用模运算和除法运算，我们可以得到 num 每个位上的数字：

thousands_digit = num / 1000
hundreds_digit = (num % 1000) / 100
tens_digit = (num % 100) / 10
ones_digit = num % 10

• 最后，根据 num 每个位上的数字，在硬编码表中查找对应的罗马字符，并将结果拼接在一起，即为 num 对应的罗马数字。

public class Solution {
   readonly string[] thousands = {"", "M", "MM", "MMM"};
   readonly string[] hundreds  = {"", "C", "CC", "CCC", "CD", "D", "DC", "DCC", "DCCC", "CM"};
   readonly string[] tens      = {"", "X", "XX", "XXX", "XL", "L", "LX", "LXX", "LXXX", "XC"};
   readonly string[] ones      = {"", "I", "II", "III", "IV", "V", "VI", "VII", "VIII", "IX"};

   public string IntToRoman(int num) {
       StringBuilder roman = new StringBuilder();
       roman.Append(thousands[num / 1000]);
       roman.Append(hundreds[num % 1000 / 100]);
       roman.Append(tens[num % 100 / 10]);
       roman.Append(ones[num % 10]);
       return roman.ToString();
   }
}

• 时间复杂度：O(1)
  • 计算量与输入数字的大小无关。
• 空间复杂度：O(1)