Unity中Shader裁剪空间推导（正交相机到裁剪空间的转化矩阵）

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前言

我们把顶点坐标信息转化为裁剪空间。有可能使用到正交相机信息 或 透视相机。我们在这篇文章中，推导一下正交相机下的裁剪空间。

• 本地空间->世界空间->观察空间->裁剪空间->屏幕映射

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一、正交相机 转化到 裁剪空间 干了什么

1、正交相机裁剪的范围主要是这个方盒子

• 因为使用的是右手坐标系。所以，摄像机的Z轴正方向是在X轴正方向右侧的。

2、裁剪了之后，需要把裁剪范围内的坐标值化到[-1,1]之间，这就是我们的裁剪空间。

• 在不同平台下裁剪空间的X 和 Y轴范围都是[-1，1]
• OpenGL下，Z范围[-1,1]
• DirectX下，Z范围[0,1]
  

3、在Unity中，设置相机为正交相机

• Unity视图窗口使用了左手坐标系，Z轴正方向 在 X轴正方向左侧。但是，我们计算使用的是右手坐标系，这里需要注意。
  

4、在这里设置相机的近裁剪面和远裁剪面

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二、把正交相机的方盒子内的坐标 转化到 裁剪空间

1、我们在Unity创建两个游戏对象来解释

• 我们的绿线Cube相当于我们的裁剪空间
• 我们的大长方体相当于世界空间下的游戏对象
• 当我们进行转化时，对大长方体进行缩放、平移即可转化到裁剪空间

2、正交相机坐标 到 裁剪坐标 的映射关系

• $l\le x\le r$ 化为 -1 $\le x\le$ 1
• $b\le y\le t$ 化为 -1 $\le x\le$ 1
• $f\le z\le n$ 化为 -1 $\le x\le$ 1

3、化简X轴坐标

$l\le x\le r$

$l?l\le x?l\le r?l$

$0\le x?l\le r?l$

$0\le x?l\frac{2}{r?l}\le r?l\frac{2}{r?l}$

$0\le \frac{2x?2l}{r?l}\le 2$

$?1\le \frac{2x?2l}{r?l}?1\le 1$

$?1\le \frac{2x?2l}{r?l}?\frac{r?l}{r?l}\le 1$

$?1\le \frac{2x?l?r}{r?l}\le 1$

• $l=?r,r=?l$
  我们在Unity中看出，我们的正交相机是处于裁剪面中央的。
  所以，我们的裁剪面x、y坐标，在摄像机空间下，是对称的。所以 r 和 l 是相反数。
  

$?1\le \frac{2x?(?r)?r}{r?(?r)}\le 1$

$?1\le \frac{2x}{2r}\le 1$

• $w=2l=2r$

(w为我们正交相机方盒子的宽,这里在Unity中是未知的，我们这里先假设为w。后期可以化简为比值法从而不需要知道w的值)

我们已知的是：
正交相机方盒子的高 Size（等于Unity单位值的2倍）
正交相机的近远裁剪面（Z值）

$?1\le \frac{2x}{w}\le 1$

4、化简Y轴坐标

$b\le y\le t$

$b?b\le y?b\le t?b$

$0\le y?b\le t?b$

$0\le y?b\frac{2}{t?b}\le t?b\frac{2}{t?b}$

$0\le \frac{2y?2b}{t?b}\le 2$

$?1\le \frac{2y?2b}{t?b}?1\le 1$

$?1\le \frac{2y?2b}{t?b}?\frac{t?b}{t?b}\le 1$

$?1\le \frac{2y?b?t}{t?b}\le 1$

• $b=?t,b=?t$
  我们在Unity中看出，我们的正交相机是处于裁剪面中央的。
  所以，我们的裁剪面x、y坐标，在摄像机空间下，是对称的。所以 b 和 t 是相反数。
  

$?1\le \frac{2y?(?t)?t}{t?(?t)}\le 1$

$?1\le \frac{2y+t?t}{t+t}\le 1$

$?1\le \frac{2y}{2t}\le 1$

• $h=2b=2t$

(h为我们正交相机方盒子的高，这里先假设h代替)

$?1\le \frac{2y}{h}\le 1$

5、化简Z坐标(OpenGL下 [-1,1])

因为我们观察空间是右手坐标系。但是，我们裁剪空间是左手坐标系。所以，这里需要化简的式子需要变化一下。(左手坐标系Z轴正方向与上图相反)

• $f\le z\le n$ 变为 $?n\le z\le ?f$

$?n\le z\le ?f$

$0\le z+n\le n?f$

$0\le z+n\frac{2}{n?f}\le n?f\frac{2}{n?f}$

$0\le \frac{2z+2n}{n?f}\le 2$

$?1\le \frac{2z+2n}{n?f}?\frac{n?f}{n?f}\le 1$

$?1\le \frac{2z+n+f}{n?f}\le 1$

$?1\le \frac{2z+n+f}{n?f}\le 1$

• 化简为线性式，方便后面把式子化为矩阵

$?1\le \frac{2z}{n?f}+\frac{n+f}{n?f}\le 1$

6、化简Z坐标(DirectX下 [0,1])

因为我们观察空间是右手坐标系。但是，我们裁剪空间是左手坐标系。所以，这里需要化简的式子需要变化一下。(左手坐标系Z轴正方向与上图相反)

• $f\le z\le n$ 变为 $?n\le z\le ?f$

$?n\le z\le ?f$

$0\le z+n\le n?f$

$0\le z+n\frac{1}{n?f}\le 1$

$0\le \frac{z+n}{n?f}\le 1$

• 化简为线性式，方便后面把式子化为矩阵

$0\le \frac{z}{n?f}+\frac{n}{n?f}\le 1$

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三、把转化后的坐标转化为矩阵

• X
  $?1\le \frac{2x}{w}\le 1$

• Y
  $?1\le \frac{2y}{h}\le 1$

• Z（OpenGL）
  $?1\le \frac{2z}{n?f}+\frac{n+f}{n?f}\le 1$

• Z（DirectX）
  $0\le \frac{z}{n?f}+\frac{n}{n?f}\le 1$

1、OpenGL下

$\left[\begin{array}{cccc}\frac{2}{w}& 0& 0& 0\\ 0& \frac{2}{h}& 0& 0\\ 0& 0& \frac{2}{n?f}& \frac{n+f}{n?f}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

2、DirectX

$\left[\begin{array}{cccc}\frac{2}{w}& 0& 0& 0\\ 0& \frac{2}{h}& 0& 0\\ 0& 0& \frac{1}{n?f}& \frac{n}{n?f}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$