模式识别与机器学习-SVM（带软间隔的支持向量机）

发布时间：2023年12月27日

SVM（带软间隔的支持向量机）

软间隔思想的由来
软间隔的引入

谨以此博客作为复习期间的记录。

软间隔思想的由来

在上一篇博客中，回顾了线性可分的支持向量机,但在实际情况中，很少有完全线性可分的情况，大部分线性可分的情况都是整体线性可分，个别样本点无法线性分割开。因此就要避免这极个别样本点对分割平面产生的影响。
线性可分支持向量机
在这里插入图片描述

软间隔的引入

在分类过程中，允许极个别数据点“越界”，如何在目标函数中体现这一点呢？
软间隔支持向量机（Soft Margin Support Vector Machine）的数学形式可以通过修改支持向量机（SVM）的优化目标函数和约束条件来实现。软间隔允许一些数据点越界，引入了松弛变量来处理这些点。

首先，我们考虑软间隔的目标函数和约束条件：

目标函数：
最小化目标函数，同时考虑间隔的最大化和误分类点的惩罚，即：
$\min_{\mathbf{w}, b, \boldsymbol{\xi}} \frac{1}{2}\|\mathbf{w}\|^2 + C \sum_{i=1}^{N} \xi_i$
这里 $\mathbf{w}$ 是超平面的法向量， $b$ 是截距， $\boldsymbol{\xi}$ 是松弛变量， $C > 0$ 是一个超参数，用于控制对误分类点的惩罚程度。
约束条件：
考虑函数间隔大于等于 1 的约束条件，以及松弛变量 $\boldsymbol{\xi}$ 的非负性约束：
$\begin{align*} & y_i(\mathbf{w} \cdot \mathbf{x}_i + b) \geq 1 - \xi_i, \quad i = 1, 2, \dots, N \\ & \xi_i \geq 0, \quad i = 1, 2, \dots, N \end{align*}$

线性支持向量机学习算法
输入: 训练数据集 $T=\left\{\left(x_1, y_1\right),\left(x_2, y_2\right), \cdots,\left(x_N, y_N\right)\right\}$ , 其中, $x_i \in \mathcal{X}=\mathbf{R}^n, y_i \in$ $\mathcal{Y}=\{-1,+1\}, \quad i=1,2, \cdots, N$ ;
输出: 分离超平面和分类决策函数.
(1) 选择惩罚参数 $C > 0$ , 构造并求解凸二次规划问题
$\begin{aligned} \min _\alpha & \frac{1}{2} \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N \alpha_i \alpha_j y_i y_j\left(x_i \cdot x_j\right)-\sum_{i=1}^N \alpha_i \\ \text { s.t. } & \sum_{i=1}^N \alpha_i y_i=0 \\ & 0 \leqslant \alpha_i \leqslant C, \quad i=1,2, \cdots, N \end{aligned}$

求得最优解 $\alpha^*=\left(\alpha_1{ }^*, \alpha_2{ }^*, \cdots, \alpha_N{ }^*\right)^{\mathrm{T}}$ .
(2) 计算 $w^*=\sum_{i=1}^N \alpha_i^* y_i x_i$

选择 $\alpha^*$ 的一个分量 $\alpha_j{ }^*$ 适合条件 $0<\alpha_j^*<C$ , 计算
$b^*=y_j-\sum_{i=1}^N y_i \alpha_i^*\left(x_i \cdot x_j\right)$
(3) 求得分离超平面
$w^* \cdot x+b^*=0$

分类决策函数:
$f(x)=\operatorname{sign}\left(w^* \cdot x+b^*\right)$

文章来源:https://blog.csdn.net/Kilig___/article/details/135247140
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