温故而知新：直方图均衡、直方图匹配的再次理解

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引言

数字图像处理的知识在2年前学过一阵子，但没学完，后来基于各种原因就停滞了整整2年没有学习了，现在准备重新开始，为此把以前学习写的总结博文翻出来重新进行温习。

在温习直方图均衡的内容时，发现自己对直方图均衡和直方图匹配的原理以前并没有真正理解，这次仔细思考了下直方图均衡解决的问题及原理，以及直方图匹配的原理，并发现了原文的一处BUG(该BUG已经修订，在此就不介绍了)。

下面就一些思考在此介绍一下。

直方图均衡的意义

直方图均衡具有扩展输入图像直方图（spread the histogram of the input image）的趋势，均衡后的图像的灰度级（intensity levels）跨越更宽灰度级（intensity scale）范围，最终结果（The net result）是增强了对比度（contrast enhancement）。

为什么直方图均衡会有这样的结果或意义呢？这是由直方图均衡的变换公式决定的，以数字图像的直方图均衡变换为例，其对应公式为：

上述公式中：

• rk表示原图像灰度值为k灰度值变量
• sk表示原图像中灰度值为k的灰度经过公式变换后其新的灰度值，在计算过程中可能出现小数，要进行四舍五入处理
• M、N为图像的宽度与高度，其乘积就是总像素数
• L为灰度的取值最大值+1，如8bit表示的灰度值中，L=255
• nj为灰度值为j的像素个数，nj的值为非负整数，一幅图像的所有nj的和应该等于M、N的乘积。

从上述公式可以得到如下信息：

1. 上述变换函数是递增函数，rk值越大，sk的值也越大；
2. SK的范围为[0，L-1]；
3. 灰度值为r_k的像素越少，则r_k与r_k-1映射到的s_k与s_k-1就越接近甚至相等，这样就导致原图像中灰度值对应像素少的灰度值就会与小于该灰度值的部分灰度值在变换后灰度值趋同，这样就对原图像中少数类似噪点的像素进行降噪处理，比如图像灰度值大于0，且为1-10的像素少于MN/(2*（L-1))时，其灰度值1-10就会被变换映射为0，这样会将图像的灰度范围向下延伸
4. 对于某灰度值大于0的rk对应的像素个数比较多时，则大于等于rk的所有灰度值可能就通过均衡方式得到增大，当原图像的最高灰度值低于L-1时，其最高灰度值就会放大到L-1，这样就向上延伸了灰度值范围，和上面一点相结合，就会提高图像灰度值的范围和对比度

直方图匹配的理解

直方图匹配（Histogram Matching ），又称为直方图规定化（Histogram Specification），旨在调整源图像的直方图以使其匹配指定的直方图。

具体实现是通过源图像的直方图均衡的结果图像A的灰度值，和指定的结果图像直方图的均衡化结果图像B的灰度值进行映射，通过两个均衡化后的直方图找到原图像的灰度值和指定的结果图像的灰度值的映射关系。

为什么通过两次直方图均衡后的图像映射就能找到原图像需要满足指定直方图的映射呢？

这是因为直方图匹配的本质就是重新映射源图像的灰度级别，使得原图像的像素值通过映射调整后对应的分布被调整为与目标直方图要求的分布相同或相近，经过匹配后的图像将具有与目标图像或指定直方图要求的对比度和亮度特性。

小结

本文针对笔者复习直方图均衡和匹配的知识的一些思考进行了说明，直方图均衡扩展可图像的灰度级（intensity scale）范围、增强了图像的对比度，而直方图匹配则使得图像具有与目标图像或指定直方图要求的对比度和亮度特性。

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