机器学习~从入门到精通（三）梯度下降法

一、梯度下降法

#   梯度下降不是一种算法，是一种最优化方法
#   上节课讲解的梯度下降的案例  是一个简单的一元二次方程
#    最简单的线性回归：只有一个特征的线性回归，有两个theta
#    

二、在多元线性回归中使用梯度下降求解

三、### R squared error

使用真实数据来进行梯度下降的过程

#  如果特征数多，样本数少，梯度下降法占优
#  如果特征数少，样本数多，梯度下降法的效率会比较低

import numpy as np


def r2_score(y_true, y_predict):
    return 1 - ((np.sum((y_true - y_predict) ** 2) / len(y_true)) / np.var(y_true))


class MyLinearGression:
    def __init__(self):
        self._theta = None  # theta参数
        self.coef_ = None  # 系数
        self.interception_ = None  # 截距

    def fit_gd(self, X_train, y, eta=0.01, n_iters=1e3, epsilon=1e-8):  # 使用梯度下降的方式来训练数据
        def j(theta, X_b, y):
            try:
                return np.sum((y - X_b.dot(theta)) ** 2) / len(X_b)
            except:
                return float('inf')

        def dj(theta, X_b, y):
            # res = np.empty(len(theta))
            # res[0] = np.sum((X_b.dot(theta) - y))
            # for i in range(1, len(theta)):
            #     res[i] = (X_b.dot(theta) - y).dot(X_b[:, i])
            # return res * 2 / len(X_b)
            return X_b.T.dot(X_b.dot(theta) - y)

        def gradient_descent(X_b, y, eta, initial_theta, n_iters=1e3, epsilon=1e-8):
            theta = initial_theta
            i_iter = 1
            while i_iter < n_iters:
                last_theta = theta
                theta = theta - eta * dj(theta, X_b, y)
                if abs(j(theta, X_b, y) - j(last_theta, X_b, y)) < epsilon:
                    break
                i_iter += 1
            return theta

        # eta = 0.01
        X_b = np.hstack([np.ones(len(X_train)).reshape(-1, 1), X_train])
        initial_theta = np.zeros(X_b.shape[1])
        self._theta = gradient_descent(X_b, y, eta, initial_theta)
        self.interception_ = self._theta[0]
        self.coef_ = self._theta[1:]
        return self

    def __repr__(self):
        return "MyLinearGression()"

    def score(self, X_predict, y_test):
        y_predict = self.predict(X_predict)
        return r2_score(y_test, y_predict)

    def predict(self, X_predict):
        X_b = np.hstack([np.ones(len(X_predict)).reshape(-1, 1), X_predict])
        return X_b.dot(self._theta)

四、总结

knn算法 线性回归 数据的预处理（标准化） 模型好坏的校验

五 梯度下降法

# 梯度下降不是一个机器学习算法，既不是再做监督学习，也不是在做非监督学习，是一种基于搜索的最优化方法
# 作用：最小化一个损失函数
# 梯度上升法：最大化一个效用函数
#  eta叫做学习率，learning rate
#  eta的取值影响我们求得最优解的速度
#  eta如果取值过小，收敛太慢
#  eta取值过大，可能甚至得不到最优解
#  eta他是梯度下降法的一个超参数

#  并不是所有的函数都有唯一的极值点

#  线性回归的损失函数具有唯一的最优解
#  gradient inscent 

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
plt_x = np.linspace(-1,6,141)
plt_y = (plt_x-2.5)**2-1
plt.plot(plt_x,plt_y)
plt.show()

def dj(theta):  
    return 2*(theta-2.5) #  传入theta,求theta点对应的导数

def j(theta):
    return (theta-2.5)**2-1  #  传入theta，获得目标函数的对应值

eta = 0.1
theta =0.0
epsilon = 1e-8
while True:
    gradient = dj(theta)
    last_theta = theta
    theta = theta-gradient*eta 
    if np.abs(j(theta)-j(last_theta))<epsilon:
        break
        
print(theta)
print(dj(theta))
print(j(theta))

eta = 0.1
theta =0.0
epsilon = 1e-8
theta_history = [theta]
while True:
    gradient = dj(theta)
    last_theta = theta
    theta = theta-gradient*eta 
    theta_history.append(theta)
    if np.abs(j(theta)-j(last_theta))<epsilon:
        break
        
print(theta)
print(dj(theta))
print(j(theta))

len(theta_history)

plt.plot(plt_x,plt_y)
plt.plot(theta_history,[(i-2.5)**2-1 for i in theta_history],color='r',marker='+')
plt.show()

def gradient_descent(eta,initial_theta,n_iters=1e3,epsilon = 1e-8):
    theta = initial_theta
    theta_history = [initial_theta]
    i_iter = 1
    def dj(theta):  
        try:
            return 2*(theta-2.5) #  传入theta,求theta点对应的导数
        except:
            return float('inf')
    def j(theta):
        return (theta-2.5)**2-1  #  传入theta，获得目标函数的对应值
    while i_iter<=n_iters:
        gradient = dj(theta)
        last_theta = theta
        theta = theta-gradient*eta 
        theta_history.append(theta)
        if np.abs(j(theta)-j(last_theta))<epsilon:
            break
        i_iter+=1
    return theta_history

def plot_gradient(theta_history):
    plt.plot(plt_x,plt_y)
    plt.plot(theta_history,[(i-2.5)**2-1 for i in theta_history],color='r',marker='+')
    plt.show()

eta = 0.1
theta =0.0
plot_gradient(gradient_descent(eta,theta))

eta = 0.01  #  eta越小，迭代次数越多，耗时越久
theta =0.0
theta_history = gradient_descent(eta,theta)
plot_gradient(theta_history)

len(theta_history)

eta = 0.8   #  说明eta的取值不是特别准确，也可以得到正确的结果
theta =0.0
plot_gradient(gradient_descent(eta,theta))

eta = 1.1  #  说明eta取值太大
theta =0.0
plot_gradient(gradient_descent(eta,theta))

六、sklearn中使用梯度下降法