等价输入干扰EID（三）：“LMI镇稳一下”

等价输入干扰EID（三）：“LMI镇稳一下”

reference Robust disturbance rejection based on equivalent-input-disturbance approach (Liu 等, 2013, p. 1)

得有一点EID基础，不懂的或者我没写到的看上面论文去~

前言

假设需要考虑建模的不确定性，不确定性的存在使得分离定理不再适用。因此，状态观测器和状态反馈控制器不能独立设计。为了解决这个问题，我们需要建立一个新的框架，同时设计状态观测器和状态反馈控制器的增益，即学习用利用线性矩阵不等式提出稳定性条件和控制器设计方法。

准备工作

不确定控制对象(Uncertain Plant)：

$$\begin{gathered} \begin{array}{c}\{\begin{array}{l}\dot{x}(t)=[A+\Delta A(t)]x(t)+[B+\Delta B(t)]u(t)+B_{d}d(t)\\ y(t)=Cx(t)\end{array} \\ \end{array}\text{\hspace{1em}?} \end{gathered}$$

其中不确定项满足：

$$\begin{gathered} \begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}\Delta A(t)& \Delta B(t)\end{array}\right]=ME(t)\left[\begin{array}{cc}{N}_0& N_1\end{array}\right] \\ \end{array}\text{\hspace{1em}?} \end{gathered}$$

$E(t)$ 未知，但满足下述式子：

$$\begin{gathered} \begin{array}{c}{E}^{\mathrm{T}}(t)E(t)\le I,?t>0 \\ \end{array}\text{\hspace{1em}?} \end{gathered}$$

内部模型(Internal Model)：

$$\begin{gathered} \begin{array}{c}{\dot{x}}_R(t)=A_R{x}_R(t)+B_R[r(t)?y(t)]| \\ \end{array}\text{\hspace{1em}?} \end{gathered}$$

状态观测器(State Observer)：

$$\begin{gathered} \begin{array}{c}\{\begin{array}{l}\dot{\hat{x}}(t)=A\hat{x}(t)+B{u}_f(t)+L[y(t)?\hat{y}(t)]\\ \hat{y}(t)=C\hat{x}(t)\end{array} \\ \end{array}\text{\hspace{1em}?} \end{gathered}$$

令观测误差为 $\Delta x(t)=x(t)?\hat{x}(t)$，且 $\phi (t)={\left[\begin{array}{cccc}{\hat{x}}^{\mathrm{T}}(t)& \Delta x^{\mathrm{T}}(t)& x_F^{\mathrm{T}}(t)& x_R^{\mathrm{T}}(t)\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}$ 用来描述闭环系统变量，可以整理得到一个关于确定项和不确定项分开的状态空间表达式，如下：
$$\begin{gathered} \begin{array}{c}\dot{\phi }(t)=\hat{A}\phi (t)+\hat{B}\Gamma (t) \\ \end{array}\text{\hspace{1em}?} \end{gathered}$$
希望这个关于 $\phi (t)$ 的空间表达式能够镇定，其中参数如下：
$$\begin{gathered} \begin{array}{c}\begin{array}{c}\Gamma (t)=E(t)\Psi \phi (t)\\ \Psi =\left[\begin{array}{cccc}{N}_0+N_1{K}_P& N_0& ?N_1{C}_F& N_1{K}_R\end{array}\right]\\ \hat{A}=[\begin{array}{cccc}A+B{K}_P& LC& 0& B{K}_R\\ 0& A?LC& ?B{C}_F& 0\\ 0& B_F{B}^{+}LC& A_F+B_F{C}_F& 0\\ ?B_{R}C& ?B_{R}C& 0& A_R\end{array}]\\ \hat{B}={\left[\begin{array}{cccc}0& M^{\mathrm{T}}& 0& 0\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}\end{array} \\ \end{array}\text{\hspace{1em}?} \end{gathered}$$

LMI镇定和控制器参数设计

引理

引理1（Schur补）：对于给定的对称矩阵：

$$\Sigma =\left[\begin{array}{cc}{\Sigma }_{11}& {\Sigma }_{12}\\ {\Sigma }_{12}^{\mathrm{T}}& {\Sigma }_{22}\end{array}\right]$$

下述条件等价：

1. $\Sigma <0$ ，

2. ${\Sigma }_{11}<0$ 且 ${\Sigma }_{22}?{\Sigma }_{12}^T{\Sigma }_{11}^{?1}{\Sigma }_{12}<0$ ，

3. ${\Sigma }_{22}<0$ 且 ${\Sigma }_{11}?{\Sigma }_{12}^T{\Sigma }_{22}^{?1}{\Sigma }_{12}<0$.

引理2：对于 $\mathrm{rank}(\Pi )=p$ 的给定矩阵 $\Pi \in {\mathbb{R}}^{p\times n}$ ，存在一个矩阵 $\bar{X}\in {\mathbb{R}}^{p\times p}$ ，对于任意 $X\in {\mathbb{R}}^{p\times p}$ ，当且仅当 X 可分解为

X = W X ˉ W T , X ˉ = d i a g { X ˉ 11 , X ˉ 22 } X=W\bar{X}W^\mathrm{T},\quad\bar{X}=\mathrm{diag}\{\bar{X}_{11},\bar{X}_{22}\} X=WXˉWT,Xˉ=diag{Xˉ11?,Xˉ22?}

使得 $\Pi X=\bar{X}\Pi$ 。

引理3：设 ${\Omega }_0(x)$ 和 ${\Omega }_1(x)$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 上的二次矩阵函数，且对于所有 x ∈ R n ? { 0 } x\in\mathbb{R}^n-\{0\} x∈Rn?{0} ，${\Omega }_0(x)\le 0$ 。那么对于所有 x ∈ R n ? { 0 } x\in\mathbb{R}^n-\{0\} x∈Rn?{0} ，当且仅当存在一个 $\epsilon \ge 0$ ，使得 ${\Omega }_0(x)?\epsilon {\Omega }_1(x)<0$ 成立时， ${\Omega }_0(x)<0$ 。

定理1：对于给定的参数 $\alpha$ 和 $\beta$ ，如果存在对称正定矩阵 $X_1,X_{11},X_{22},X_3,X_4$ ，以及适当的矩阵 $W_1,W_2,W_3$，且以下 LMI 可行，则系统 (20) 在控制规律 (24) 作用下是鲁棒稳定的

LMI式：

$$\begin{gathered} \begin{array}{c}\left[\begin{array}{cccccc}{\Phi }_{11}& W_{2}C& 0& {\Phi }_{14}& 0& {\Phi }_{16}\\ ?& {\Phi }_{22}& {\Phi }_{23}& ?X_2{C}^{\mathrm{T}}{B}_R^{\mathrm{T}}& M& X_2{N}_0^{\mathrm{T}}\\ ?& ?& {\Phi }_{33}& 0& 0& ?X_3{N}_1^{\mathrm{T}}\\ ?& ?& ?& {\Phi }_{44}& 0& \beta W_3^{\mathrm{T}}{N}_1^{\mathrm{T}}\\ ?& ?& ?& ?& ?I& 0\\ ?& ?& ?& ?& ?& ?I\end{array}\right]<0 \\ \end{array}\text{\hspace{1em}?} \end{gathered}$$

其中
$$\begin{array}{rl}& {\Phi }_{11}=\alpha A{X}_1+\alpha X_1{A}^{\mathrm{T}}+\alpha B{W}_1+\alpha W_1^{\mathrm{T}}{B}^{\mathrm{T}}\\ & {\Phi }_{14}=\beta B{W}_3?\alpha X_1{C}^{\mathrm{T}}{B}_R^{\mathrm{T}}\\ & {\Phi }_{16}=\alpha X_1{N}_0^{\mathrm{T}}+\alpha W_1^{\mathrm{T}}{N}_1^{\mathrm{T}}\\ & {\Phi }_{22}=A{X}_2+X_2{A}^{\mathrm{T}}?W_{2}C?C^{\mathrm{T}}{W}_2^{\mathrm{T}}\\ & {\Phi }_{23}=?B{C}_F{X}_3+C^{\mathrm{T}}{W}_2^{\mathrm{T}}{B}^{+T}{B}_F^{\mathrm{T}}\\ & {\Phi }_{33}=(A_F+B_F{C}_F)X_3+X_3(A_F+B_F{C}_F{)}^{\mathrm{T}}\\ & {\Phi }_{44}=\beta A_R{X}_4+\beta X_4{A}_R^{\mathrm{T}}\end{array}$$

且 $X_2$ 的奇异值分解为：

$$X_2=\left[\begin{array}{cc}{V}_1& V_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{X}_{11}& 0\\ 0& X_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{V}_1^{\mathrm{T}}\\ V_2^{\mathrm{T}}\end{array}\right]$$

此外，状态反馈控制器和观测器的增益分别为：

$$\begin{array}{rlrl}& K_P=W_1{X}_1^{?1}& K_R=W_3{X}_4^{?1}& L=W_{2}US{X}_{11}^{?1}{S}^{?1}{U}^{\mathrm{T}}\end{array}$$

定理1证明

1.选择lyapunov函数为：

$$\begin{gathered} \begin{array}{c}V(t)={\phi }^{\mathrm{T}}(t)P\phi (t) \\ \end{array}\text{\hspace{1em}?} \end{gathered}$$

其中 P = d i a g { 1 α P 1 ， P 2 ， P 3 1 β ， P 4 } P=\mathrm{diag}\{\frac{1}{\alpha}P_{1}，P_{2}，P_{3}\frac{1}{\beta}，P_{4}\} P=diag{α1?P1?，P2?，P3?β1?，P4?} ，内部各项都是待定的正定矩阵。

2.对(9)式求导：

$$\begin{gathered} \begin{array}{c}\dot{V}(t)={\phi }^{\mathrm{T}}(t)P\dot{\phi }(t)+{\dot{\phi }}^{\mathrm{T}}(t)P\phi (t) \\ \end{array}\text{\hspace{1em}?} \end{gathered}$$

根据式(6)可以将式(7)化为下式 (8)，$?$就是前面一个矩阵的转置，下述中就是 $(P\hat{A}{)}^T$ 。

$$\begin{gathered} \begin{array}{c}\dot{\mathrm{V}}(t)={\phi }^{\mathrm{T}}(t)(P\hat{A}+?)\phi (t)+2{\phi }^{\mathrm{T}}(t)P\hat{B}\phi (t) \\ \end{array}\text{\hspace{1em}?} \end{gathered}$$

将式 $(P\hat{A}+?)$ 合并成矩阵形式：

$$\left[\begin{array}{cccc}{H}_{11}& H_{12}& 0& H_{14}\\ ?& H_{22}& H_{23}& H_{24}\\ ?& ?& H_{33}& 0\\ ?& ?& ?& H_{44}\end{array}\right]$$

其中

$$\begin{array}{rl}& H_{11}=\frac{1}{\alpha }(P_{1}A+A^{\mathrm{T}}{P}_1+P_{1}B{K}_P+K_P^{\mathrm{T}}{B}^{\mathrm{T}}{P}_1)\\ & H_{12}=\frac{1}{\alpha }{P}_{1}LC\\ & H_{14}=\frac{1}{\alpha }{P}_{1}B{K}_R?\frac{1}{\beta }{C}^{\mathrm{T}}{B}_R^{\mathrm{T}}{P}_4\\ & H_{22}=P_{2}A+A^{\mathrm{T}}{P}_2?P_{2}LC?C^{\mathrm{T}}{L}^{\mathrm{T}}{P}_2\\ & H_{23}=?P_{2}B{C}_F+C^{\mathrm{T}}{L}^{\mathrm{T}}{B}^{+T}{B}_F^{\mathrm{T}}{P}_3\\ & H_{24}=?\frac{1}{\beta }{C}^{\mathrm{T}}{B}_R^{\mathrm{T}}{P}_4\\ & H_{33}=P_3(A_F+B_F{C}_F)+(A_F+B_F{C}_F{)}^{\mathrm{T}}{P}_3\\ & H_{44}=\frac{1}{\beta }(P_4{A}_R+A_R^{\mathrm{T}}{P}_4)\end{array}$$

3.式(11)还是非线性矩阵，需要将其转化成大的矩阵形式，因此构造如下：

$$\begin{gathered} \begin{array}{c}\begin{array}{r}S=\dot{V}(t)?[{\Gamma }^{\mathrm{T}}(t)\Gamma (t)?{\phi }^{\mathrm{T}}(t){\Psi }^{\mathrm{T}}\Psi \phi (t)]=\left[\begin{array}{cc}{\phi }^{\mathrm{T}}(t)& {\Gamma }^{\mathrm{T}}(t)\end{array}\right]\Xi \left[\begin{array}{c}\phi (t)\\ \Gamma (t)\end{array}\right]\end{array} \\ \end{array}\text{\hspace{1em}?} \end{gathered}$$

为什么构造这个函数呢？因为需要将Lyapunov函数内的非线性项一起结合成为一个大矩阵，就是图中的 $\Xi$ ，这样子若S负定，如果 $\dot{V}(t)$ 减去的一坨是半正定或正定，那么就能保证 $\dot{V}(t)$ 是负定的了，就间接得到了我们想要的结果。

其中

$$\begin{gathered} \begin{array}{c}\Xi =\left[\begin{array}{ccccc}{H}_{11}& H_{12}& 0& H_{14}& 0\\ ?& H_{22}& H_{23}& H_{24}& P_{2}M\\ ?& ?& H_{33}& 0& 0\\ ?& ?& ?& H_{44}& 0\\ ?& ?& ?& ?& ?I\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{\Psi }^{\mathrm{T}}\\ 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\Psi & 0\end{array}\right] \\ \end{array}\text{\hspace{1em}?} \end{gathered}$$

这个需要自己反过来推一下，我在纸上推过了确实能得到S的二次型上述表达式；

继续由于 $\Xi$ 还不是我们想要的LMI，其中还是有非线性项，因此我们需要用 引理1(Schur补) 将其包装成为维度更高的矩阵。

4.令

$${\Sigma }_{11}=\left[\begin{array}{ccccc}{H}_{11}& H_{12}& 0& H_{14}& 0\\ ?& H_{22}& H_{23}& H_{24}& P_{2}M\\ ?& ?& H_{33}& 0& 0\\ ?& ?& ?& H_{44}& 0\\ ?& ?& ?& ?& ?I\end{array}\right],{\Sigma }_{22}=?I,{\Sigma }_{12}=\left[\begin{array}{c}{\Psi }^{\mathrm{T}}\\ 0\end{array}\right]$$

则有

$$\begin{gathered} \begin{array}{c}\Sigma =\left[\begin{array}{cccccc}{H}_{11}& H_{12}& 0& H_{14}& 0& N_0^{\mathrm{T}}+K_P^{\mathrm{T}}{N}_1^{\mathrm{T}}\\ ?& H_{22}& H_{23}& H_{24}& P_{2}M& N_0^{\mathrm{T}}\\ ?& ?& H_{33}& 0& 0& ?C_F{N}_1^{\mathrm{T}}\\ ?& ?& ?& H_{44}& 0& K_R^{\mathrm{T}}{N}_1^{\mathrm{T}}\\ ?& ?& ?& ?& ?I& 0\\ ?& ?& ?& ?& ?& ?I\end{array}\right] \\ \end{array}\text{\hspace{1em}?} \end{gathered}$$

故 $\Xi <0$ 等价于 $\Sigma <0$ ，在 $\Sigma$ 两边左右乘 $\Pi$ ，其中 $\Pi$ 的表达式如下：

Π = diag ? { α P 1 ? 1 , P 2 ? 1 , P 3 ? 1 , β P 4 ? 1 , I , I } = diag ? { α X 1 , X 2 , X 3 , β X 4 , I , I } \begin{equation} \begin{aligned}\Pi&=\operatorname{diag}\{\alpha P_1^{-1},P_2^{-1},P_3^{-1},\beta P_4^{-1},I,I\}\\&=\operatorname{diag}\{\alpha X_1,X_2,X_3,\beta X_4,I,I\}\end{aligned}\\ \end{equation} Π?=diag{αP1?1?,P2?1?,P3?1?,βP4?1?,I,I}=diag{αX1?,X2?,X3?,βX4?,I,I}???

式(15)其实是为了初步消除矩阵中的非线性项，例如 $P_{1}B{K}_P$ 左右两边同时有变量，为非线性项，左右乘 $P_1^{?1}$ 后的式子为 $B{K}_P{P}_1^{?1}$ ，后两项可以看成一个LMI变量，这样就可以消去非线性项。

5.显而易见 $\Pi$ 为正定矩阵，不改变原有矩阵的正定性，因此带入进去得到：

$$\begin{gathered} \begin{array}{c}\Pi \Sigma \Pi =\left[\begin{array}{cccccc}{\tilde{\Phi }}_{11}& LC{X}_2& 0& {\tilde{\Phi }}_{14}& 0& {\tilde{\Phi }}_{16}\\ ?& {\tilde{\Phi }}_{22}& {\tilde{\Phi }}_{23}& ?X_2{C}^{\mathrm{T}}{B}_R^{\mathrm{T}}& M& X_2{N}_0^{\mathrm{T}}\\ ?& ?& {\tilde{\Phi }}_{33}& 0& 0& ?X_3{C}_F{N}_1^{\mathrm{T}}\\ ?& ?& ?& {\tilde{\Phi }}_{44}& 0& \beta X_4{K}_R^{\mathrm{T}}{N}_1^{\mathrm{T}}\\ ?& ?& ?& ?& ?I& 0\\ ?& ?& ?& ?& ?& ?I\end{array}\right] \\ \end{array}\text{\hspace{1em}?} \end{gathered}$$

其中

$$\begin{array}{rl}& {\tilde{\Phi }}_{11}=\alpha (A{X}_1+X_1{A}^{\mathrm{T}}+B{K}_P{X}_1+X_1{K}_P^{\mathrm{T}}{B}^{\mathrm{T}})\\ & {\tilde{\Phi }}_{14}=\beta B{K}_R{X}_4?\alpha X_1{C}^{\mathrm{T}}{B}_R^{\mathrm{T}}\\ & {\tilde{\Phi }}_{16}=\alpha X_1{N}_0^{\mathrm{T}}+\alpha X_1{K}_P^{\mathrm{T}}{N}_1^{\mathrm{T}}\\ & {\tilde{\Phi }}_{22}=A{X}_2+X_2{A}^{\mathrm{T}}?LC{X}_2?X_2{C}^{\mathrm{T}}{L}^{\mathrm{T}}\\ & {\tilde{\Phi }}_{23}=?B{C}_F{X}_3+X_2{C}^{\mathrm{T}}{L}^{\mathrm{T}}{B}^{+T}{B}_F^{\mathrm{T}}\\ & {\tilde{\Phi }}_{33}=(A_F+B_F{C}_F)X_3+X_3(A_F+B_F{C}_F{)}^{\mathrm{T}}\\ & {\tilde{\Phi }}_{44}=\beta (A_R{X}_4+X_4{A}_R^{\mathrm{T}})\end{array}$$

注意到大部分非线性项已经消去，但是仍有部分未消去，比如 $LC{X}_2$ ，这这时候想办法去将前两项位置交换，就可以把待定矩阵放到右边凑成一个LMI变量，就消去了非线性。

6.假设C能被奇异值分解为：

$$C=U[S0]V^{\mathrm{T}}$$

其中S为半正定阵，U和V为酉阵(即满足 $U{U}^T=I$ ，V同理 )，令 $V=\left[\begin{array}{cc}{V}_1& V_2\end{array}\right]$ 。

$X_2$ 的奇异值分解为：

$$X_2=\left[\begin{array}{cc}{V}_1& V_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{X}_{11}& 0\\ 0& X_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{V}_1^{\mathrm{T}}\\ V_2^{\mathrm{T}}\end{array}\right]$$

用 引理2 找到一个满足 $C{X}_2={\bar{X}}_{2}C$ 的 ${\bar{X}}_2$ ，即 ${\bar{X}}_2=US{X}_{11}{S}^{?1}{U}^{\mathrm{T}}$ 。

接着，令

$$K_P{X}_1=W_1,K_R{X}_4=W_3,L\overline{X_2}=W_2$$

这样就用新的LMI变量代替了两个待定矩阵的乘积，整个矩阵就变成了线性矩阵，不包含非线性项。

7.由式(3)得到：

$${\Gamma }^{\mathrm{T}}(t)\Gamma (t)\le {\phi }^{\mathrm{T}}(t){\Psi }^{\mathrm{T}}\Psi \phi (t)$$

再由 引理3 得到系统的稳定。