f
(
t
)
=
1
2
α
0
+
∑
n
=
1
∞
[
α
n
c
o
s
(
n
ω
t
)
+
β
n
s
i
n
(
n
ω
t
)
]
f(t)=\frac{1}{2}\alpha_0 + \sum_{n=1}^{\infty}[\alpha_ncos(n\omega t)+\beta_n sin(n \omega t)]
f(t)=21?α0?+n=1∑∞?[αn?cos(nωt)+βn?sin(nωt)]
其中
ω
=
2
π
T
\omega = \frac{2\pi}{T}
ω=T2π?
α
n
=
2
T
∫
?
T
/
2
T
/
2
f
(
t
)
c
o
s
(
n
ω
t
)
d
t
\alpha_n=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)cos(n\omega t)dt
αn?=T2?∫?T/2T/2?f(t)cos(nωt)dt
β
n
=
2
T
∫
?
T
/
2
T
/
2
f
(
t
)
s
i
n
(
n
ω
t
)
d
t
\beta_n=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)sin(n\omega t)dt
βn?=T2?∫?T/2T/2?f(t)sin(nωt)dt
c
o
s
(
n
ω
t
)
=
e
j
n
ω
t
+
e
?
j
n
ω
t
2
cos(n \omega t)=\frac{e^{j n \omega t}+e^{-j n \omega t}}{2}
cos(nωt)=2ejnωt+e?jnωt?
s
i
n
(
n
ω
t
)
=
e
j
n
ω
t
?
e
?
j
n
ω
t
2
j
sin(n \omega t) = \frac{e^{j n \omega t} - e^{-j n \omega t}}{2j}
sin(nωt)=2jejnωt?e?jnωt?
上式带入傅里叶级数可得
f
(
t
)
=
α
0
2
+
∑
n
=
1
+
∞
(
α
n
?
j
β
n
2
e
j
n
ω
t
+
α
n
+
j
β
n
2
e
?
j
n
ω
t
)
f(t)=\frac{\alpha_0}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty}\big(\frac{\alpha_n -j \beta_n}{2}e^{j n \omega t} + \frac{\alpha_n+j\beta_n}{2}e^{-j n \omega t}\big)
f(t)=2α0??+n=1∑+∞?(2αn??jβn??ejnωt+2αn?+jβn??e?jnωt)
=
∑
?
∞
+
∞
(
α
n
?
j
β
n
2
)
e
j
n
ω
t
=\sum_{-\infty}^{+\infty}(\frac{\alpha_n-j\beta_n}{2})e^{jn\omega t}
=?∞∑+∞?(2αn??jβn??)ejnωt
整理得：
f
(
t
)
=
1
T
∑
?
∞
+
∞
[
∫
?
T
/
2
T
/
2
f
(
τ
)
e
?
j
n
ω
τ
d
τ
]
e
j
n
ω
t
f(t)=\frac{1}{T}\sum_{-\infty}^{+\infty}[\int_{-T/2}^{T/2}f(\tau)e^{-j n \omega \tau}d\tau]e^{j n \omega t}
f(t)=T1??∞∑+∞?[∫?T/2T/2?f(τ)e?jnωτdτ]ejnωt
当
f
f
f为非周期函数时可以假设为无穷大
f
(
t
)
=
lim
?
T
→
∞
1
T
∑
?
∞
+
∞
[
∫
?
T
/
2
T
/
2
f
(
τ
)
e
?
j
n
ω
τ
d
τ
]
e
j
n
ω
t
f(t)=\lim_{T \to \infty}\frac{1}{T}\sum_{-\infty}^{+\infty}[\int_{-T/2}^{T/2}f(\tau)e^{-j n \omega \tau}d\tau]e^{j n \omega t}
f(t)=T→∞lim?T1??∞∑+∞?[∫?T/2T/2?f(τ)e?jnωτdτ]ejnωt
=
lim
?
T
→
∞
1
T
∑
n
=
?
∞
+
∞
[
F
(
ω
n
)
e
j
ω
n
t
]
=\lim_{T \to \infty}\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}[F(\omega_n)e^{j\omega_nt}]
=T→∞lim?T1?n=?∞∑+∞?[F(ωn?)ejωn?t]
以为
T
=
2
π
/
ω
T=2\pi / \omega
T=2π/ω则上式可以表示为
lim
?
ω
→
0
1
2
π
∑
n
=
?
∞
+
∞
[
F
(
ω
n
)
e
j
ω
n
t
]
d
ω
n
\lim _{\omega \to 0}\frac{1}{2\pi}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}[F(\omega_n)e^{j\omega_nt}]d\omega_n
ω→0lim?2π1?n=?∞∑+∞?[F(ωn?)ejωn?t]dωn?
=
1
2
π
∫
?
∞
+
∞
F
(
ω
n
)
e
j
ω
n
t
d
ω
n
=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega_n)e^{j \omega_n t}d\omega_n
=2π1?∫?∞+∞?F(ωn?)ejωn?tdωn?
F ( ω n ) = lim ? T → ∞ ∫ ? T / 2 + T / 2 f ( τ ) e ? j n ω τ d τ = ∫ ? ∞ + ∞ f ( τ ) e ? j ω n τ d τ F(\omega_n)=\lim_{T \to \infty}\int_{- T/2}^{+T/2}f(\tau)e^{-j n \omega \tau}d\tau=\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)e^{-j\omega_n \tau}d\tau F(ωn?)=T→∞lim?∫?T/2+T/2?f(τ)e?jnωτdτ=∫?∞+∞?f(τ)e?jωn?τdτ
采样函数如下所示
f
s
(
t
)
=
∑
n
=
0
N
f
(
t
)
δ
(
t
?
n
T
s
)
f_s(t)=\sum_{n=0}^{N} f(t)\delta(t-nT_s)
fs?(t)=n=0∑N?f(t)δ(t?nTs?)
其中
f
s
f_s
fs?为采样函数，
T
s
T_s
Ts?为采样周期。函数周期为
N
T
s
NT_s
NTs?
对其进行傅里叶变换有如下所示：
F
s
(
ω
)
=
∫
0
(
N
?
1
)
T
s
[
∑
n
=
0
N
?
1
f
(
t
)
δ
(
t
?
n
T
s
)
]
e
?
j
ω
t
d
t
F_s(\omega)=\int_{0}^{(N-1)T_s}[\sum_{n=0}^{N-1} f(t)\delta(t-nT_s)]e^{-j \omega t}dt
Fs?(ω)=∫0(N?1)Ts??[n=0∑N?1?f(t)δ(t?nTs?)]e?jωtdt
由上式可知：
F
s
(
ω
)
=
∑
n
=
0
N
?
1
f
(
n
T
s
)
e
?
j
ω
n
T
s
F_s(\omega)=\sum_{n=0}^{N-1}f(nT_s)e^{-j\omega nT_s}
Fs?(ω)=n=0∑N?1?f(nTs?)e?jωnTs?
其逆变换如下：
f
s
(
t
)
=
1
N
T
s
∑
ω
[
∑
n
=
0
N
?
1
f
(
n
T
s
)
e
?
j
ω
n
T
s
]
e
j
ω
t
f_s(t)=\frac{1}{NT_s}\sum_\omega[\sum_{n=0}^{N-1}f(nT_s)e^{-j\omega nT_s}]e^{j\omega t}
fs?(t)=NTs?1?ω∑?[n=0∑N?1?f(nTs?)e?jωnTs?]ejωt