Leetcode 1049 最后一块石头的重量II

1. 题意理解：

????????有一堆石头，用整数数组?stones?表示。其中?stones[i]?表示第?i?块石头的重量。

????????每一回合，从中选出任意两块石头，然后将它们一起粉碎。假设石头的重量分别为?x?和?y，且?x <= y。

? ? ? ? 思路转化：我们可以将题目转换为，将石头分为大小相等差不多的两堆，然后相互去撞击，这样留下来的残余的石头就是可剩余的最小重量。

? ? ? ? 如何将石头分为大小相等的两堆呢。

? ? ? ? target=sum(stones[])/2向上取整

? ? ? ? res=sum(stones[])-target 表示剩余的石头重量

? ? ? ? 此时，再一次将题目转换为0-1背包问题：

? ? ? ? target表示背包重量，stones表示物品，stones[i]表示第i块石头的重量和价值。

? ? ? ? 此时问题转换为将物品装入大小为target的背包，能获得的最大价值maxValue

? ? ? ? 此时石头被分为：maxValue和sum-maxValue大小的两堆

? ? ? ? res=|sum-maxValue-maxValue|此时获得最小剩余大小的石头

解题思路：

????????首先理解题意，将其转换为一个背包问题，使用动态规划的思路来求解。

? ? ? ? 动态规划五部曲：

? ? ? ? （1）dp[i][j]或dp[i]的含义

? ? ? ? （2）递推公式：

? ? ? ? ? ? ? ? dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i]]+values[i])或

? ? ? ? ? ? ? ? dp[j]=max(dp[j],dp[j-weight[i]]+values[i])

? ? ? ? （3）根据题意初始化

? ? ? ? （4）遍历求解:先遍历包还是先遍历物品

? ? ? ? （5）打印——debug

1.动态规划二维dp数组

1. dp[i][j]表示下标[0,j]的元素任务，放入大小为j的背包，能获得的最大价值
2. 递推公式：dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i]]+values[i])
3. 初始化第一行，第一列。
4. 遍历：由于二维数组完整保留了两个维度所有信息，所以先遍历背包还是先遍历物品，都是可以的。

public int lastStoneWeightII(int[] stones) {
        int sum=0;
        for(int num:stones)sum+=num;
        int target=(int)Math.ceil(sum/2);
        int[][] dp=new int[stones.length][target+1];
        //初始化
        for(int[] tmp:dp) Arrays.fill(tmp,-1);
        for(int i=0;i<stones.length;i++) dp[i][0]=0;
        for(int j=1;j<=target;j++){
            if(stones[0]>j) dp[0][j]=0;
            else dp[0][j]=stones[0];
        }
        //遍历
        for(int i=1;i<stones.length;i++){
            for(int j=1;j<=target;j++){
                if(stones[i]>j){
                    dp[i][j]=dp[i-1][j];
                }else{
                    dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-stones[i]]+stones[i]);
                }
            }
        }
        return Math.abs(sum-dp[stones.length-1][target]*2);
    }

2.一维滚动数组——存储压缩

1. dp[j]表示装满大小为j的背包所能获得的最大价值。
2. 递推公式：dp[j]=max(dp[j],dp[j-weight[i]]+values[i])
3. 初始化：右边的值总是由最左边的值推导而来，而最坐标的值dp[0]表示背包大小为0所能获得的最大价值，所以有dp[0]=0.将所有元素初始化为0
4. 遍历：由于以为滚动数组是二维dp数组的动态行滚动更新，所以遍历顺序总是先物品后背包。
5. 注意：为了防止用同层修改过的值修改本行其他值，导致物体重复放置，故采用倒序遍历背包。

   public int lastStoneWeightII2(int[] stones) {
           int sum=0;
           for(int num:stones)sum+=num;
           int target=(int)Math.ceil(sum/2);
           int[] dp=new int[target+1];
           //初始化
           Arrays.fill(dp,0);
           //遍历
           for(int i=1;i<stones.length;i++){
               for(int j=target;j>=0;j--){
                   if(stones[i]>j){
                       dp[j]=dp[j];
                   }else{
                       dp[j]=Math.max(dp[j],dp[j-stones[i]]+stones[i]);
                   }
               }
           }
           return Math.abs(sum-dp[target]*2);
       }

   

3.分析

时间复杂度：O(n*target)

空间复杂度：

? ? ? ? 二维：O(n*target)

? ? ? ? 一维：O(target)

n是nums的长度，target是sum(stones)/2的大小