通信入门系列——微积分定理及证明

本节目录

一、微积分第一基本定理
二、微积分第二基本定理
三、微分与积分的互逆运算
四、罗尔定理
五、拉格朗日中值定理
六、积分中值定理

本节内容
一、微积分第一基本定理
第一基本定理：设f(x)为实函数，其在闭区间[a,b]上连续，如果存在以下关系式：

则F(x)可导，并且F’(x)=f(x)。
如何证明微积分的第一基本定理？
其实本质上也就是要证明F(x)可导，从导数的基本概念入手，来证明：

根据积分中值定理,存在一个ξ∈[x,x+?x],满足以下公式：

二、微积分第二基本定理
第二基本定理(又称为牛顿-莱布尼茨公式)：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且存在原函数F’(x)=f(x)，则f(x)在闭区间[a,b]上可积，且满足以下公式：

如何证明微积分的第二基本定理？
将[a,b]上的一个分割a=x0<x1<……<xn-=b,同时满足以下关系式：

由拉格朗日中值定理可得，在(x(i-1),xi)上有一点ξi,满足：

三、微分与积分的互逆运算
微积分的基本定理，其实描述的就是微分和积分是互逆的运算，使微分和积分形成一个有机的整体。第一定理描述的是原函数F(x)的导数是f(x)；第二定理描述的是f(x)的积分是F(x)。
函数f(x)是[a,b]上的连续函数，F(x)是[a,x]上曲线包围的面积。

从微分角度来分析，将自变量x变化到x+?x,那么曲线面积的变化大约为?F(x)≈f(x)?x。也就是说，当?x→0,也就变成了dF(x)=f(x)dx，dF(x)/dx=f(x)。第一定理中F(x)的导数是f(x)。
从积分角度来分析，把[a,x]上无数的[x,x+?x]的面积累加起来，也就是曲线下的面积，两边积分可以得到以下公式：

四、罗尔定理
罗尔定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，那么存在一点ξ∈(a,b)，满足下述公式：f’(ξ)=0。

如何证明罗尔定理？
对于最大值和最小值都在端点的，即f(a)=f(b)，也就是说f(x)为常函数，那么任意一点ξ∈(a,b)，均满足下述公式：f’(ξ)=0。
对于f(x)在ξ∈(a,b)内部取得最大值，即f(x)max=f(ξ)。从左极限来考虑，若x∈(a,ξ),f(x)-f(ξ)<0,当x→ξ-时候，从左边逼近ξ，可以得到：

从右极限来考虑，若x∈(ξ,b),f(x)-f(ξ)>0,当x→ξ+时候，从右边逼近ξ，可以得到：

综上可得f’(ξ)=0。
当然对于最小值，也可以满足f’(ξ)=0。
五、拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，那么存在一点ξ∈(a,b)，满足下述公式：

以平均速度的概念来理解，如果自变量x表示时间，f(x)表示距离函数，那么(f(b)-f(a))/(b-a)为平均速度，f’(x)表示速度函数，通俗点讲，速度可以任意变化，但是总会存在一点的速度等于平均速度。

六、积分中值定理
积分中值定理：若函数f(x)在[a,b]上连续，则在[a,b]上至少存在一点ξ，满足以下公式：

如何证明积分中值定理？
假设f(x)在[a,b]上有定义，且如图所示，那么一定存在一个最小值m和一个最大值M。

如果m=M，也就是最小值等于最大值，那么f(x)一定是一个常数，ξ取[a,b]中的任意一点都满足积分中值定理。如果m<M,满足下述公式：

上式中的值在f(x)的最小值和最大值之间，f(x)在闭区间[a,b]上连续，也就是f(x)从最小值变化到最大值的时候，一定会存在ξ∈[a,b]，满足下述公式：