【线性代数】两个向量组等价,其中一个向量组线性无关,另一个向量组也是线性无关吗?

一、问题

两个向量组等价,其中一个向量组线性无关,另一个向量组也是线性无关吗?

二、答案

不一定,当两个向量组中的向量个数也相同时,结论才成立.若向量个数不相同,结论不成立.
例如：
向量组一：(1,0),(0,1)
向量组二：(1,0),(0,1),(1,1)
两个向量组等价,向量组一线性无关,向量组二线性相关

参考：

两个向量组等价,其中一个向量组线性无关,那另一个向量组也是线性无关吗?_作业帮若向量组a1,a2,a3,a4线性无关,那么他们的等价向量组怎样?也无关? - 雨露学习互助

向量组的等价与线性无关

三、GPT给的回答

线性无关指的是一组向量中没有任何一个向量可以表示为其他向量的线性组合。如果我们有一组线性无关的向量，我们对这些向量进行任何线性变换（比如旋转、缩放、反射等），而这些变换没有使任一向量变成零向量或者使得某些向量变成了其它向量的线性组合，那么变换后的向量组依然保持着线性无关的属性。

具体来说，如果我们有一组线性无关的向量集合 V = {v1, v2, ..., vn}，我们通过某种线性变换 T 得到另一组向量集合 V' = {T(v1), T(v2), ..., T(vn)}，只要这种变换 T 是可逆的（也即是说，它有一个逆变换 T^(-1)），那么 V' 也是线性无关的。

这是因为，如果变换是可逆的，任何对 V' 的线性组合尝试将 T(vi) 表达为其他 T(vj)（i ≠ j）的组合，都可以通过变换的逆运算转换回 V，这将违反 V 的线性无关性，即我们原先设定的条件。

因此，线性无关性是保持在等价向量组之间的。记住，这样的结论只有在变换是线性且可逆的情况下才成立。如果变换是不可逆的，可能导致一些向量“坍缩”到较低的维度，使得新的向量组不再线性无关。?