蓝桥杯备赛 day 3 —— 高精度（C/C++，零基础，配图）

发布时间：2024年01月17日

🌈前言：

? ? ? ? 这篇文章主要是准备蓝桥杯竞赛同学所写，为你更好准备蓝桥杯比赛涉及的算法知识点。不知道你是否苦恼于不知算法从何学起，苦恼于网上资料稀少，或者复杂难懂，这篇文章就是帮助这部分同学的。

? ? ? ? 下面整理了蓝桥杯考点大纲：
????????蓝桥杯考点大纲

? ? ? ? 如果你对vecto数组r有兴趣，也可以阅读下面这篇文章，当然没了解vector数组也不影响阅读本篇文章

和C++STL中vector的初次见面，vector常见用法和操作（零基础/小白）-CSDN博客

? ? ? ? 上图是大学C组需要掌握的，对于B组的同学也是需要向下掌握的。本文主要是帮助蓝桥杯B/C为主体的大部分同学，所以讲解相对基础。本文是以C++为主要语言，但是C语言的同学也不需要担心，大部分语法是相通的，只不过是加了STL内容一个内容，也是会进行讲解的。

? ? ? ? 因为语法特性，变量等原因，对于JAVA，Python同学来说是不需要掌握高精度的。

? ? ? ? 同时本文将提供做题模板，方便你在考试中更好的做题，以及日常的刷题。

📁 高精度的概念

? ? ? ? 我们用C/C++创建变量时，变量类型是有取值范围的，对于最常用unsigned int来说，它最多有-2147483648 ~?2147483647,即-(2^31)~(2^31-1），也就是说最多有31位, 那我们想存长度为10^6的数呢，这是我们就不能用C/C++语法规定的变量来存储了，我们就必须用数组来存储。

? ? ? ? 总结一下，高精度就是通过数组模拟四则运算来计算长度非常长的数字。

? ? ? ??本文只讲解比较常见的四种高精度算法，如两个高精度数相加，两个高精度数相间，高精度数乘低精度数，高精度数除以低精度数。

? ? ? ? 通常来说，高精度灰常大，如10^6，低精度数10000以内。

? ? ? ? 对于高精度数这么多位数来说，我们首先想到的是整数数组来存储，可是有一个问题是存储呢是从后往前存储，还是从前往后存储？比如123，下标0是在1的位置，还是3的位置呢？

????????如果从1开始那么计算是否方便，很显然这是不方便的，如果感兴趣，可以自己尝试一下。可是对于从3开始存储，一开始我们怎么会知道他有多少位数呢？相信你一定知道数组还有一种叫做字符数组的，我们可以先将字符数字存储在字符数组中，再将字符数字逆序存储成整数数组中进行计算，这样大大减少了运算时进位的难度。（数组从前往后遍历如果遇到进位时，只需要下一个位置的数+1即可）

📁 高精度加法和其模板

? ? ? ? 我们首先来看一下，普通的加法怎么计算。

? ? ? ? 加法运算就是从个位开始相加，相加大于10就向前进1位，即向前一位+1。前面我们说了，高精度是通过数组来模拟计算的，如下图所示。

? ? ? ? 通过上图我们就可以得出模板：

vector<int> add(vector<int> A,vector<int> B)
{
    vector<int> C;
    int t = 0;    //t是进位
    for(int i=0;i<A.size() || i < B.size();i++
    {
        if(i < A.size())
            t += A[i];
        if(i < B.size())
            t += B[i];
        C.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }
    if(t)
      C.push_back(t);
    return C;

}

? ? ? ? 这里为了更好照顾C语言同学，讲解一下什么是vector<int> , 可以理解为数组，每个元素类型是int，即整数数组。

? ? ? ? .size()可以理解为对数组的操作，求数组元素个数；.push_back()也是同理，向数组C插入元素的。

? ? ? ? 整体通读一遍模板代码，先创建数组C存储结果，当然是从个位先开始存储的。t是进位，如果Ai，Bi在i位置上有数，就加到t中，t就是相加结果，如果大于10，保留个位数，向前+1，t%10。

最后判断最大位数相加是否向前进1位，就是判断t，这里t只能取到0或者1。

? ? ? ? 以上，我们就对高精度加法模板有了了解，下面我们展示完整代码：

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

vector<int> add(vector<int> A, vector<int> B)
{
	vector<int> C;
	int t = 0;		//进位
	for (int i = 0;i < A.size() || i < B.size();i++)
	{
		if (i < A.size())
			t += A[i];
		if(i < B.size())
			t += B[i];
		C.push_back(t % 10);
		t /= 10;
	}
	if (t)
		C.push_back(t);
	return C;
}

int main()
{
	string a, b;
	cin >> a >> b;
	vector<int> A, B;
	for (int i = a.size() - 1;i >= 0;i--) 
		A.push_back(a[i] - '0');            //将 字符数字 -> 整数数字
	for (int i = b.size() - 1;i >= 0;i--)
		B.push_back(b[i] - '0');
	vector<int> C = add(A, B);
	for (int i = C.size() - 1;i >= 0;i--)
		cout << C[i];
	return 0;
}

? ? ? ? 如果我们要使用vector数组的话，要引用头文件。

📁 高精度减法和其模板

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? ? ? ? A-B，我们要分两种情况，即A>=B,和 A < B；对于第1种情况，我们直接输出A-B即可，对于第二种情况我们输出 - (B - A);

? ? ? ? 对于模板，我们只需要确保A>=B即可。

vector<int> sub(vector<int> A,vector<int> B)
{
    vector<int> C;
    int t = 0;        //借位
    for(int i=0;i<A.size();i++)
    {
        t = A[i] + t;
        if(i < B[i])
            t -= B[i];
        C.push_back((t + 10) % 10);
        if(t < 0)
            t = -1;
        else
            t = 0;    
    }
    while(C.size() > 1 && C.back() == 0)
        C.pop_back();
    return C;
}

? ? ? ?(t+10)%10,是为了保证减不开的情况，对于相减大于0的数不影响。

????????最后的while循环是为了保证一种情况，例如，127-120，在数组C中存储的是300,最后打印007了，所以我们要将前面两个0删去，当然如果是127-127，是要保留1个0的。

? ? ? ? 下面展示完整代码：

? ? ? ? 当然，我们下面还写了一个函数check，作用就是判断A是否大于等于B的。

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

bool check(vector<int> A, vector<int> B)
{
	if (A.size() > B.size())
		return true;
	for (int i = 0;i < A.size();i++)
		if (A[i] != B[i])
			return A[i] > B[i];
	return true;
}

vector<int> sub(vector<int> A, vector<int> B)
{
	vector<int>	C;
	int t = 0;
	for (int i = 0;i < A.size();i++)
	{
		t = A[i] + t;
		if (i < B.size())
			t -= B[i];
		C.push_back((t + 10) % 10);
		if (t < 0)
			t = -1;
		else
			t = 0;
	}
	while (C.size() > 1 && C.back() == 0)
		C.pop_back();
	return C;
}

int main()
{
	string a, b;
	cin >> a >> b;
	vector<int> A, B;
	for (int i = a.size() - 1;i >= 0;i--)
		A.push_back(a[i] - '0');

	for (int i = b.size() - 1;i >= 0;i--)
		B.push_back(b[i] - '0');
	
	if (check(A, B))
	{
		vector<int> C = sub(A, B);
		for (int i = C.size() - 1;i >= 0;i--)
			cout << C[i];
	}
	else
	{
		vector<int> C = sub(B, A);
		cout << '-';
		for (int i = C.size() - 1;i >= 0;i--)
			cout << C[i];
	}
	return 0;
}

📁 高精度乘法和其模板

? ? ? ? 下图便是高精度与低精度整数想乘的运算方式，将每一位数乘低精度数b + 上一位的进位，余数就是这位上的数，进位等于相除的结果。

? ? ? ? 得出模板为：

vector<int> mul(vector<int> A, int b)
{
	vector<int> C;
	int t = 0;
	for (int i = A.size() - 1;i >= 0 || t; i--)
	{
		if(i < A.size())
			t += A[i] * b;
		C.push_back(t % 10);
		t /= 10;
	}
	while (C.size() > 1 && C.back() == 0)
		C.pop_back();
	return C;
}

? ? ? ? 当然最后还是要保证A*0的话只能有1个0。

????????下面展示完整代码：

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

vector<int> mul(vector<int> A, int b)
{
	vector<int> C;
	int t = 0;
	for (int i = A.size() - 1;i >= 0 || t; i--)
	{
		if(i < A.size())
			t += A[i] * b;
		C.push_back(t % 10);
		t /= 10;
	}
	while (C.size() > 1 && C.back() == 0)
		C.pop_back();
	return C;
}

int main()
{
	string a;
	cin >> a;
	int b;
	cin >> b;
	vector<int> A;
	for (int i = a.size() - 1;i >= 0;i--)
		A.push_back(a[i] - '0');

	vector<int> C = mul(A, b);
	for (int i = C.size() - 1;i >= 0;i--)
		cout << C[i];
	return 0;
}

📁 高精度除法和其模板

? ? ? ? 除法相对于上面三个有点不同，高精度数A是从最高位开始计算的，我们数组C存储也是从最高位开始存储，但是我们为了和上面保持一致，即输出都是从后往前输出，所以我们最后逆置数组。

? ? ? ? 这里为什么从0开始计算呢，是从1开始计算的，上一位的补下来是0，所以1/3=1，余数是1,，依次类推。理解了这里，高精度除法也就懂了。

? ? ? ? 下面展示模板：

vector<int> div(vector<int> A, int b, int& r)
{
	vector<int> C;
	for (int i = A.size()-1;i >=0;i--)
	{
		r = r * 10 + A[i];
		C.push_back(r / b);
		r %= b;
	}
	reverse(C.begin(),C.end());

	while (C.size() > 1 && C.back() == 0)
		C.pop_back();
	
	return C;
}

? ? ? ? reverse()函数就是将数组元素逆置，其中begin(),end()你可以先简单理解为首元素位置，尾元素位置，将这两个参数传给reverse函数。函数是包含在头文件<algorithm>中

? ? ? ? 下面展示完整代码：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

vector<int> div(vector<int> A, int b, int& r)
{
	vector<int> C;
	for (int i = A.size()-1;i >=0;i--)
	{
		r = r * 10 + A[i];
		C.push_back(r / b);
		r %= b;
	}
	reverse(C.begin(),C.end());

	while (C.size() > 1 && C.back() == 0)
		C.pop_back();
	
	return C;
}

int main()
{
	string a;
	cin >> a;
	int b;
	cin >> b;
	vector<int> A;
	for (int i = a.size() - 1;i >= 0;i--)
		A.push_back(a[i] - '0');

	int r = 0;
	vector<int> C = div(A,b,r);
	for (int i = C.size() - 1;i >= 0;i--)
		cout << C[i];
	cout << endl << r << endl;
	return 0;
}

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📁 总结

????????以上，我们就对高精度在蓝桥杯中的知识点进行了讲解，并针对性的讲解了例题，当然这也只是帮你更好的理解这些算法知识，想要学好算法，还需要不断地刷题练习，这里推荐到洛谷，acwing等网站进行练习，比如你看完了这篇文章，做回了例题习题，就可以上这些网站进行想应的练习。

? ? ? ? 如果你有哪里疑惑，欢迎在评论区留言，也欢迎大家指出文中错误。最后，希望大家在评论区积极讨论，点赞，收藏，关注ヾ(?ﾟ▽ﾟ)ノ

文章来源:https://blog.csdn.net/jupangMZ/article/details/135658692
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