我最喜欢的趣味几何书-读书笔记

我最喜欢的趣味几何书-读书笔记

1、利用阴影的长度来测量

公元前6世纪，古希腊哲学家泰勒思为了测量金字塔，想到了这样的方法：选择了一个特殊的时间，在那个时间，他自身的影子长度刚好跟他的身高相等。此时，只要测量出金字塔影子的长度，就能知道金字塔的高度。

大约在公元前300年，古希腊数学家欧几里得写过一本书，系统地论述了几何学。

三角形有一些特性：

·等腰三角形的两个底角相等。反之，如果三角形有两个角相等，那么这两个角的对边也相等。

·对于任意一个三角形，它的内角和等于180°。

泰勒思发明的测量高度的方法，就是基于三角形的这两个特性。当影子的长度和他的身高相等时，说明太阳照向地面的角度刚好等于直角的一半，即45°。此时，金字塔的高度和影子的长度刚好是一个等腰三角形的两条边，所以它们是相等的。

利用阴影的长度来测量树的高度 AB：ab=BC：bc

但这样的方法用到路灯以及它所形成的影子上，就行不通了。

柱子AB的高度是矮木桩ab的3倍，可它们的影子BC和bc却不是3倍的关系，而是差不多8倍的关系

为什么呢？

我们把太阳照射出来的光线视为是平行的，而路灯发出的光线却并不平行。

我们之所以把太阳发出的光线视为是平行的，是因为从太阳发出的光线间的角度非常小，几乎可以忽略。这一点，我们可以用几何学的知识进行证明。

假设从太阳上发出了两条光线，照射到地球上的某两个点，假定这两个点的距离有1000千米。如果我们有一个巨型的圆规，将其中的一只脚放到太阳的位置，另一只脚放到刚才的其中一个点上，画一个圆。显然，这个圆的半径刚好是地球到太阳的距离，也就是150000000千米。通过换算，即可得到这个圆的周长，它等于：2×π×150000000≈940000000（千米）刚才选取的两点间的距离是1000千米，也就是圆上的一段弧长是1000千米的弧。我们知道，在圆周上的每一度对应的弧长都是圆周长的1/360。换算得出：940000000×1/360≈2600000（千米）每一分的弧长就是这个数值的1/60，约为43000千米，每一秒的弧长又是这个数值的1/60，即720千米。

前面我们提到的弧长只有1000千米，那么它对应的角度应该是1/720秒，就算是用精密的仪器也很难测量出这么小的角度，因此可以忽略不计。所以，在地球上看来，太阳发出的光线完全可以视为是平行的。

需要指出一点，太阳照射到地球直径两端的光线之间的夹角大约是17秒，这个角度可以用仪器测量出来，科学家也恰恰是用这个角度计算出地球与太阳之间的距离的。

可见，倘若没有几何学的知识，我们根本无法解释前面提到的测量高度的方法。

树的影子BC在边缘处会多出来一段虚弱的半影CD。实际上，半影CD的两端与树梢形成的夹角CAD与我们看向太阳直径两端形成的夹角是相等的，这个度数大约是半度。就算是在太阳的位置比较高的时候，半影依然会存在，所以此时就会产生测量误差。有时候，这个误差可能会达到5%，甚至更多。加之地面凹凸不平等其他因素的影响，则会导致误差更大。

一种测量树的高度的方法：

把木杆插到地里，让它露出地面的长度刚好等于你的身高（严格来说，这个高度应当是从地面到你眼晴的高度）。如图-6所示，仰面躺到地面上，脚跟抵住木杆的底端，使眼睛看向木杆顶端的时候，树梢刚好在这条直线的延长线上。此时，三角形Aba不仅是等腰三角形，还是直角三角形，所以角A等于45e, AB=BC，眼睛平视到树的距离等于树的高度。

另一种：

找两根木条ab和cd，把它们用钉子钉在一起，使其夹角成90°，并使ab和bc长度相等，而bd则是ab长度的一半。这样，一个测高仪器就做好了。

具体的方法是这样的：在点A测量的时候，要保证仪器的c端在上面；而在点A′测量的时候，要保证仪器的d端在上面。选择点A和A′也是有原则的：选择点A时，要使点a、点c和树梢B在一条直线上，而选择点A′的时候，要使点a′、d′和树梢B在一条直线上。这样，树高的上半部分BC刚好等于AA′

这是因为：

aC=BC

a′C=2BC

所以：

a′C-aC=BC

还可以用镜子来测量：

把镜子放在大树前面的点C处，使点C跟大树保持一定的距离。测量时，测量者一边看着镜子，一边往后退，直至退到刚好在镜子里面看到树梢点A的位置，也就是点D。此时，树的高度AB与测量者身高ED之比，等于树根到镜子的距离BC跟镜子到测量者的距离CD之比。

2、辛普森公式

其中，h是几何体的高度，b1是下底面的面积，b2是中间截面的面积，b3是上底面的面积。V 表示体积。

辛普森公式适用于棱台、棱柱、棱锥、圆台、圆柱、圆锥和球体的体积计算。

辛普森公式还有一个特点，它还可以用来计算平面图形的面积。比如，平行四边形、梯形、三角形等，但需要把公式中字母的含义稍稍做一下修改：

其中，h仍代表高度，b1是下底边的长，b2是中间线的长，b3是上底边的长。

3、树叶几何学

对于同一种类树木而言，树叶的形状基本相同，只是大小存在差别而已。根据几何学的知识可知，如果两个图形是相似的，它们的面积之比应该等于这两个图形的直线尺寸之比的平方。所以，只要我们测量出两片叶子的长度或宽度，就能算出这两片叶子的面积关系。如果小树叶子的长度是15厘米，而大树叶子是4厘米，那么两片叶子的面积之比就是（15÷4）2 ≈14。也就是说，小树叶子的面积大概是大树叶子的14倍。

还有一个方法，也能得到这两片叶子面积的比例关系：找一张透明的标有方格的纸，把纸压在树叶的上面，分别画出两片树叶的轮廓，根据画出来的树叶轮廓所包含的方格数量，算出两片树叶的面积关系。这个方法比前面的方法更精确，只是烦琐一些。当两片叶子的形状差别比较大，前面的方法就不适用了，而这个方法就突显了它的优势。

4、月亮看起来有多大

如果拿一个苹果并伸出手臂，这个苹果遮住的不仅是月亮，天空也被遮住了一大部分。把苹果用细绳吊起来，朝着远离苹果的方向后退，一直退到这个苹果刚好把月亮遮住。这时我们就可以说，苹果和月亮的视大小是相同的。我们还能计算出苹果与观察者的距离大概是10米。如果把月亮形容为苹果，相当于把苹果拿到10米远的距离，这时苹果和月亮的视大小才是一样的。如果把月亮形容为盘子，这个距离是30米。

我们看月亮的时候，视角只有半度大小，如此小的角度，通常没有直观的印象，即便是稍大一些的角度，比如1°、2°或是5°，也不会去估计它的大小。只有在角度比较大的时候，我们才可能注意到它的大小，就像时钟上的指针，我们很容易估计出两个指针的夹角，比如1点的时候是30°，3点的时候是90°，等等。

5、视角与距离

1°到底有多大呢？说得再具体点，让一个身高170厘米的人朝着与我们相反的方向走去，要走到多远的距离，视角才正好是1°呢？下面，我们依然从几何学的角度来分析这个问题。

其实，这就如同画一个圆，让1°的圆心角所对应的弦长正好是170厘米。由于角度非常小，在计算中我们可以用弧长来代替弦长，因为两者的差别不大。

当圆心角为1°时，对应的弧长是170厘米，即1.7米，整个圆周的长就是360×1.7≈610米。由此，我们可以算出这个圆的半径是610/2π≈98米。也就是说，这个人要离开我们100米左右，视角才是1°。

同理，如果是1米的竹竿，视角为1°的时候，距离应该是360/2π≈57米。如果是看1厘米的木棍，这个距离就是57厘米。如果物体特别大，有1000米的话，那么这个距离则是57千米。

这就是说，当我们看向一个远处的物体时，如果在它直径57倍的距离上观察，视角就是1°。

记住了57这个数字，我们就能轻松地进行类似的计算。**一个直径是9厘米的苹果，要想视角为1°，苹果离你的距离就应该是9×57≈510厘米。如果移到10米的距离上，视角就是半度，这跟我们看向月亮的视角相同。**前面我们曾经提到过这个距离。这里的57适用于任何物体，我们能用它计算出所有视大小和月亮相同的物体与我们的距离。

【题目】一只直径为25厘米的盘子，在多远的距离上观看，它和月亮具有相同的视大小？

【解答】根据前面的分析，我们可以快速计算出这个距离：

0.25×57×2≈28（米）

6、人体测角仪

当我们伸直手臂的时候，手指跟眼睛的距离大约是60厘米，而普通人的食指指甲大约宽1厘米。根据前面所学知识可知，当我们看向这时候的食指指甲时，视角大概为1°，严格地说，比1°还要略小。前面分析过，在57厘米处的时候视角才是1°，你可以自己测量一下，这样印象会更加深刻。每个人的手指指甲的大小不太一样，通过测量，可以找到究竟哪一个手指指甲在这段距离上的视角是1°，然后以这个手指的指甲作为标准。

准备好这些之后，我们就可以不带任何东西，测量远处物体的视角了。当你看向远方物体的时候，如果你伸直手臂，食指指甲刚好遮住了物体，那么你看向物体的视角就正好是1°。也就是说，这个物体离你的距离是它大小的57倍。如果你的指甲只遮住了物体的一半，那么你看向物体的视角就是2°，它跟你之间的距离就是物体大小的28.5倍。

满月的时候，只需半个指甲就能把月亮遮住，所以看向它的视角就是0.5°。这就是说，月亮跟我们之间的距离大概是其直径的114倍。

7、雅科夫测角仪

通常，这种测角仪有70～100厘米长，由两根相互垂直的木棒AB和CD组成，木棒CD可前后移动，点O是CD的中点。现在，我们用这个测角仪测量一下S星和S′星的角距。为了方便观测，可以在测角仪的点A装一片铁片，并在中间钻一个小孔。把点A贴在眼睛的前面，看向S′星，使木棒AB对准S′星。然后，前后移动木棒CD，使点C正好挡住S星。只要能够测量出AO的长度，就可以得出角SAS′的大小。根据三角形的知识，我们可以求出这个角的正切值为CO/AO。根据勾股定理，可求出AC的长度，然后就可以找出正弦为CO/AC的角。

8、钉耙式测角仪

这个测角仪主要是由一块木板组成，一端装着一块铁片，铁片上有一个小孔。我们就是通过这个小孔进行观察。在木板的另一端，钉着一排大头针。每两个相邻大头针之间的距离刚好等于它们到铁片之间距离的1/57。根据前面的分析可知，如果从小孔看过去，每两个相邻大头针之间的视角正好等于1°。我们还可以用下面的方法来安放大头针，这样更精确：先在墙上画出两条相距一米远的平行的直线，然后沿垂直方向向后退57米。此时，从铁片上的小孔看过去，每两个相邻大头针的位置，就会正好挡住墙上的两条平行直线。

钉耙式测角仪

9、步测距离

一个普通成人的平均步幅，也就是每一步的长度，等于他的眼睛距离地面高度的一半。也就是说，如果你的眼睛跟地面的距离是160厘米，那么你的步幅大约就是80厘米。

一个人每小时走过的距离（单位为千米），刚好跟他在3秒钟的时间里走的步数相等。也就是说，如果一个人在3秒的时间里走了4步，那么他每小时的速度就是4千米。当然，这里每一步的长度是在某个特定范围内的，我们可以把这个长度计算出来。

10、不用函数表开平方根

假设我们要计算√13的值。我们知道，它在3和4之间，也就是等于3跟一个分数的和。我们假设这个分数是x，即：

√13=3+x

也就是：

13=9+6x+x^2

由于x是一个很小的分数，它的平方是一个更小的数，可以舍去，即有：

13=9+6x

所以：

6x=4

x≈0.67

这就是说，√13的近似值是3.67。

如果我们想更精确一些，还可以继续往下计算：

√13=3.67+y

则：

13=13.47+7.34y+y^2

这里的y2也是一个很小的分数，所以它的平方更小，把它舍去，得到：

13=13.47+7.34y

所以：y≈-0.06√13的近似值就是3.67-0.06=3.61。

如果继续计算下去，可以得到更精确的值。我们利用代数课本中的方法，若只取前两位小数的话，得到的数值也是3.61。

11、地平线离我们多远

地平线长度的测算

线段CN是从人的眼睛向地球的表面作的切线。在几何学中，切线的平方等于割线的外段h跟这条割线全长（h+2R）的乘积，这里的R是地球的半径。与地球的直径2R相比，人的眼睛到地面的距离很小，就算乘坐飞机到一万多米的高空，人的眼睛距离地面的高度也不过只有地球直径0.001。所以，在（2R+h）中，我们可以把h忽略不计，于是，公式就可以简化为：

CN2=h×2R

地平线跟人的距离=√2Rh

R代表地球的半径（地球的半径为6371千米，通常取6400千米）。h代表人的眼睛距离地面的高度。

我们知道，√6400=80，因此，上式还可以简化为：

地平线跟人的距离=80√2h=113√2h

h的单位是千米。

在大气中，光线的折射会把计算出来的地平线距离增加大约1/15（也就是6%左右）。

【题目】一个人站在平地上，他能看到地面多远的距离？

【解答】如果此人是成年人，他的眼睛跟地面的距离大约是1.6米，也就是0.0016千米，所以，地平线和人的距离是：

刚才说过，地球周围的空气层会使光线的路径发生曲折，所以地平线的距离要比用这个公式计算出的值增加6%。考虑到这一点，我们应该在4.52千米的基础上，再乘以1.06，也就是4.52×1.06≈4.8千米。

这就是说，如果是一个中等身材的人，他在平地上能看到的最远距离不超过4.8千米。倘若把他放在那个圆的中心，这个直径是9.6千米，面积大概是72平方千米。

12、投针试验

准备一些约2厘米长的缝衣针，去掉针尖，让每根针的上下粗细一样。然后，在一张白纸上画出一些平行的直线，要求每两条直线之间的距离正好等于针长的两倍。接着，把这些针逐个从高处落到纸上，看看它们有没有跟某一条直线交叉。

为了避免针在落到纸面上的时候跳起来，可以在纸的下面铺一层厚纸，或是放一些呢绒。试着多做几次，比如100次或1000次，次数越多越好，并把每次是否跟直线交叉记录下来。完成一定的次数后，把这个总次数除以交叉的次数，得到的数值就是π的近似值。

掷针实验

原理是：

我们用K表示缝衣针和直线交叉的最多可能次数。我们知道，针长是20毫米，那么当缝衣针和直线交叉时，这个交叉点必定是在这20毫米中的某一个点上。对于这根针来说，这20毫米中的任何一点，或者说任何一毫米，跟别的点都有同样的可能性。所以，每一毫米可能和直线交叉的次数就是K/20。如果针上某段的长度是3毫米，它可能和直线交叉的次数就是3K/20；如果长度是11毫米，它可能和直线交叉的次数就是11K/20……也就是说，缝衣针可能和直线交叉的次数跟缝衣针的长度成正比。

现在，假设我们把缝衣针弯成一个圆形，这个圆的直径刚好等于两条直线之间的距离，也就是说，这个圆的直径是我们开始时提到的缝衣针长的两倍。当这个圆环每次落下来的时候，肯定会和两条直线交叉或有接触，总之，肯定每次都有2次交叉。假设落下来的总次数是N，那么总的交叉次数就是2N。我们前面用到的直针长度比这个圆环短，直针的长度跟圆环长度的比值相当于圆环的半个直径跟圆环圆周长度的比值，也就是1/2π。刚刚我们已经得出，最多可能交叉的次数跟针的长度成正比，所以这个圆环最多可能的交叉次数K跟2N的比值，应该是1/2π，而K=Nπ，所以有：

13、薄片的重心在哪里

众所周知，倘若一块矩形薄片或菱形薄片的厚度均匀，它的重心会落在对角线的交点上。如果是三角形薄片，它的重心就落在各条中线的交点上。如果是圆形薄片，重心就落在圆心的位置。

延长边DE，使它与AB交于点N，延长边FE，使它与BC交于点M。我们姑且把这块薄片视为是由矩形ANEF和矩形NBCD组成。每一个矩形的重心都在它们对角线的交点上，也就是在点O1和O2处。所以，整个薄片的重心必定在直线O1O2上。

现在，我们将这块薄片视为由矩形ABMF和矩形EMCD组成，这两个矩形的重心分别在点O3和O4处。同理，整个薄片的重心肯定在直线O3OO4上。所以，整个薄片的重心必定在直线O1O2和O3OO4的交点O处。你看，只是利用直尺，我们就解决了这个问题。

14、一笔画出来

请用一笔画出图中的每个图形

为什么有些图形可以一笔画出来，有些却不能呢？

【解答】我们不妨把图形中各条线的交点称为“结点”，把偶数条线会聚的点称为“偶结点”，把奇数条线会聚的点称为“奇结点”。在图形a中，每个结点都是偶结点，在图形b中，有两个奇结点（点A和点B）；在图形c中，奇结点在中间横切的直线两端；在图形d和图形e中，各有4个奇结点。

总而言之，如果在一个图形中有两个奇结点，想描画成功，必须从其中的一个奇结点开始，最终停在另一个奇结点上。也就是说，笔的起点跟终点不在同一个点上。我们可以得出一个结论：如果一个图形有4个奇结点，它只能用两笔画出，而不是一笔。

总而言之，如果这个图形的所有结点都是偶结点，无论从这个图形的哪一个点开始描，肯定都能把这个图形用一笔描下来。也就是说，图上所有的线描完后，终点会跟起点重合。

如果只准走一次，能不能把7座桥都走遍？

不妨先把可能的路径画出来。结果，得到的图形跟图-154中的e相同，有4个奇结点。根据前面的分析可知，这个图形是无法用一笔描画出来的。也就是说，在通过这7座桥的时候，我们无法做到每座桥只通过一次。当时，欧拉在发现了这个问题后，还特意进行了一番证明。