深入理解——快速排序

目录

💡基本思想

💡基本框架

💡分割方法

?Hoare版本

?挖坑法

?前后指针法

💡优化方法

?三数取中法

?小区间内使用插入排序

💡非递归实现快速排序

💡性能分析

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💡基本思想

任取待排序元素序列中的某元素作为基准值，按照该排序码将待排序集合分割成两子序列，左子序列中所有元素均小于基准值，右子序列中所有元素均大于基准值，然后最左右子序列重复该过程，直到所有元素都排列在相应位置上为止。

💡基本框架

// 假设按照升序对array数组中[left, right)区间中的元素进行排序
void QuickSort(int* array, int left, int right)
{
 if(right - left <= 1)
 return;
 
 // 按照基准值对array数组的 [left, right)区间中的元素进行划分
 int div = partion(array, left, right);
 
 // 划分成功后以div为边界形成了左右两部分 [left, div) 和 [div+1, right)
 // 递归排[left, div)
 QuickSort(array, left, div);
 
 // 递归排[div+1, right)
 QuickSort(array, div+1, right);
}

这是快速排序递归实现的主框架，可以发现与二叉树的递归十分相似，在递归时可以想想二叉树的递归规则。

💡分割方法

?Hoare版本

这是Hoare于1962年提出的一种二叉树结构的交换排序方法

这个方法的思想就是R找比key小的数，L找比key大的数，然后将R和L对应的数交换，当R和L相遇时，将R和L对应的数与key交换，最终使得比key大的数都在key的右边，比key小的数都在key的左边。

这里其实我们保存的时基准值的下标，记为keyi，这样做是为了方便交换，不然交换时只是与key这个临时变量发生了交换而没有影响到原来的数组里的数。

这里其实还有几个疑点：

• 当a[left],a[right]与a[keyi]相等时，怎么办？这里的处理方法其实就是不管它，直接继续原来的过程就可以了，最终两边排序时都会将这个数放到合理的位置。
• 为什么当R与L相遇时，它们所对应的数一定比a[keyi]小？要得到这个结论，必须要R先开始走，当R和L相遇时，有两种情况，一是L动的时候遇见R，此时R由于先走且一直在找比基准值小的数，所以当R停下时，R对应的数一定是小于等于基准值，L找比基准值大的数，一直没有找到，遇见R就停下来；二是R动的时候遇见L，R没有找到比key小的，所以一直走，又因为L一直在找比基准值大的数，所以当L停下时，L对应的数一定大于基准值，因此,只要R先走，R和L相遇时，对应的数一定比a[keyi]小。

?挖坑法

所谓挖坑法，就是第一次将基准值的位置设为坑(hole),然后R找比key小的数，填入到坑中，并使R对应的位置成为新的坑，然后L找比key大的数，填入到坑中，并使L对应的位置成为新的坑，再重复进行这个过程，当R和L相遇时，此时它们所对应的位置一定是一个坑，然后再将key填入到坑中，此时key左边的数一定比它小，key右边的数一定比他大。

这个方法相较于hoare的方法更加好理解，但是性能上并没有太大的变化。

//挖坑法
int PartSort(int* a, int begin, int end)
{
	int midi = GetMidi(a, begin, end);
	swap(&a[begin], &a[midi]);
	int key = a[begin];
	int hole = begin;
	while (begin < end)
	{
		//右边找小，填到左边的坑
		while (begin < end && a[end] >= key)
		{
			end--;
		}
		a[hole] = a[end];
		hole = end;
		//左边找大，填到右边的坑
		while (begin < end && a[begin] <= key)
		{
			begin++;
		}
		a[hole] = a[begin];
		hole = begin;
	}
	a[hole] = key;
	return hole;
}

?前后指针法

这个方法就是

1. cur遇到比key大的数，cur++；
2. cur遇到比key小的数，prev++，交换cur与prev位置的值，cur++。
3. 当cur超出数组边界时，将prev位置的值与key位置的值交换。

int PartSort(int* a, int begin, int end)
{
	int midi = GetMidi(a, begin, end);
	swap(&a[begin], &a[midi]);
	int keyi = begin;
	int prev = begin;
	int cur = begin + 1;
	while (cur <= end)
	{
		if (a[cur] < a[keyi] && ++prev != cur)//自身交换减少了
		{
			swap(&a[prev], &a[cur]);
		}
		cur++;
	}
	swap(&a[keyi], &a[prev]);
	keyi = prev;
	return prev;
}

💡优化方法

?三数取中法

所谓三数取中法，其实取的是三个数中的中位数，将这个数作为基准值，能够避免某些极端情况的出现（比如数组已经接近有序）。

?注：这是针对基数选取进行的优化，另外还有随机数法选数，在这里就不过多介绍了。

int GetMidi(int* a, int begin, int end)
{
	int midi = (begin + end) / 2;
	//取中位数
	if (a[begin] <= a[midi])
	{
		if (a[midi] <= a[end])
		{
			return midi;
		}
		else 
		{
			if (a[begin] <= a[end])
				return end;
			else
				return begin;
		}
	}
	else   //midi begin
	{
		if (a[begin] >= a[end])
		{
			if (a[midi] >= end)
			{
				return midi;
			}
			else
				return end;
		}
		else
			return begin;
	}
}

?小区间内使用插入排序

在递归到较小区间时，如果仍然使用快速排序，会造成时间上的浪费，假如这个区间内有7个数，那就要递归7次才能得到这个7个数的有序序列。

 if(end-begin+1 <= 10)
{//某个区间内的小规模排序直接插入排序
     //进行插入排序
     InsertSort(arr,end-begin+1);
     return;
}

💡非递归实现快速排序

非递归实现方法其实与递归的方法类似，但是需要借助栈这个数据结构（避免其他方法造成栈溢出）。

每次将要排序的区间的起始位置入栈，然后排序时再取栈顶的前两个元素作为一个排序区间进行快速排序，然后依次对key的左区间、右区间进行这样的操作，最终得到有序序列。

void QuickSortNonR(int* a, int begin, int end)
{
	ST s;
	STInit(&s);
	STPush(&s, end);
	STPush(&s, begin);

	while (!STEmpty(&s))
	{
		int left = STTop(&s);
		STPop(&s);
		int right = STTop(&s);
		STPop(&s);

		int keyi = PartSort(a, left, right);
		// [left, keyi-1] keyi [keyi+1, right]
		if (left < keyi - 1)
		{
			STPush(&s, keyi - 1);
			STPush(&s, left);
		}

		if (keyi + 1 < right)
		{
			STPush(&s, right);
			STPush(&s, keyi + 1);
		}
	}

	STDestroy(&s);
}

💡性能分析

• 时间复杂度：最差O(N^2),最好O(NlogN)，平均O(NlogN)
• 空间复杂度：O(logN),因为递归时创建的栈帧（申请的空间）没有销毁，递归的深度为logN
• 稳定性：不稳定
• 特点:数据越乱排序越快