代码随想录算法训练营第五十三天|1143.最长公共子序列、1035.不相交的线、53.最大子序和（动态规划）

代码随想录 (programmercarl.com)

1143.最长公共子序列

与718的区别在于本题不需要是连续的，可以是在【不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串】

1.dp数组及下标含义

dp[i][j]：长度为[0, i - 1]的字符串text1与长度为[0, j - 1]的字符串text2的最长公共子序列为dp[i][j]

与718定义i - 1和j - 1的理由类似，就是简化了dp数组第一行和第一列的初始化逻辑。

2.递推公式

主要就是两大情况： text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同

如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，那么找到了一个公共元素，所以dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;

如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同，例如，text1 = abc和text2 = ace，其中text1[2] != text2[2]，就可以比较text1的ab和text2的ace，或者text1的abc和text2的ac，就是二者之间最长公共子序列可能的长度。

即两个字符串分别少最后的结尾字符，对比选出最大的公共子序列长度。

即：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);

3.初始化

dp[i][0]：表示字符串的长度为[0, i - 1]与长度为[0, -1]的字符串（空串）的公共子序列自然为0；

dp[0][j]：同理为0。

其他下标都是随着递推公式逐步覆盖，初始为多少都可以，那么就统一初始为0。

4.遍历顺序

下面三个方向都是经过计算的数值，所以要从前向后，从上到下来遍历这个矩阵

class Solution {
    public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {
        char[] char1 = text1.toCharArray();
        char[] char2 = text2.toCharArray();
        int[][] dp = new int[char1.length + 1][char2.length + 1];
        for (int i = 1; i <= char1.length; i++) {
            for (int j = 1; j <= char2.length; j++) {
                if (char1[i - 1] == char2[j - 1]){
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                }else {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]);
                }
            }
        }
        return dp[char1.length][char2.length];
        //因为可以不连续，所以一定是dp数组最大长度代表的是最长公共子序列的长度
    }
}

1035.不相交的线

本题本质上和?1143.最长公共子序列是一模一样的

class Solution {
    public int maxUncrossedLines(int[] nums1, int[] nums2) {
        int[][] dp = new int[nums1.length + 1][nums2.length + 1];
        for (int i = 1; i <= nums1.length; i++) {
            for (int j = 1; j <= nums2.length; j++) {
                if (nums1[i - 1] == nums2[j - 1]){
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                }else {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
                }
            }
        }
        return dp[nums1.length][nums2.length];
    }
}

53. 最大子序和（动态规划）

连续子序列和

方法一：贪心算法

遍历 nums，从头开始用 count 累积，如果 count 一旦加上 nums[i]变为负数，那么就应该从 nums[i+1]开始从 0 累积 count 了，因为已经变为负数的 count（和），只会拖累总和。

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int result = Integer.MIN_VALUE;
        int count = 0;
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            count += nums[i];
            if(count > result){
                result = count;
            }
            if(count < 0){
                count = 0;
            }
        }
        return result;
    }
}

方法二：动态规划

1.dp数组及下标含义

dp[i]：包括下标i（以nums[i]为结尾）的最大连续子序列和为dp[i]。

2.递推公式

• dp[i - 1] + nums[i]，即：nums[i]加入当前连续子序列和
• nums[i]，即：从头开始计算当前连续子序列和

一定是取最大的，所以dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);

3.初始化

根据dp[i]的定义，dp[0] = nums[0]

4.遍历顺序

递推公式中dp[i]依赖于dp[i - 1]的状态，需要从前向后遍历

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        if (nums.length == 0) {
            return 0;
        }
        int[] dp = new int[nums.length + 1];
        dp[0] = nums[0];
        int res = nums[0];
        for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
            dp[i] = Math.max(nums[i], dp[i - 1] + nums[i]);
            res = res > dp[i] ? res : dp[i];
        }
        return res;
    }
}