管理类联考——数学——真题篇——按知识分类——代数——数列

发布时间：2023年12月20日

【等差数列
? \Longrightarrow ? 通项公式： a n = a 1 + ( n ? 1 ) d = a m + ( n ? m ) d = n d + a 1 ? d = A n + B a_n= a_1+(n-1)d =a_m+(n-m)d=nd+a_1-d=An+B an?=a1?+(n?1)d=am?+(n?m)d=nd+a1??d=An+B ? \Longrightarrow ? A = d ， B = a 1 ? d A=d，B=a_1-d A=d，B=a1??d
? \Longrightarrow ? 求和公式： S n = n ( a 1 + a n ) 2 = n a n + 1 2 （ n 为偶数时，可虚拟小数） = n a 1 + n ( n ? 1 ) 2 d = d 2 n 2 + ( a 1 ? d 2 ) n = C n 2 + D n S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=na_{\frac{n+1}{2}}（n为偶数时，可虚拟小数）=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d=\frac{d}{2}n^2+(a_1-\frac{d}{2})n=Cn^2+Dn Sn?=2n(a1?+an?)?=na2n+1??（n为偶数时，可虚拟小数）=na1?+2n(n?1)?d=2d?n2+(a1??2d?)n=Cn2+Dn ? \Longrightarrow ? C = d 2 ， D = a 1 ? d 2 C=\frac{d}{2}，D=a_1-\frac{d}{2} C=2d?，D=a1??2d?
其中，
S n = n a n + 1 2 S_n=na_{\frac{n+1}{2}} Sn?=na2n+1?? ? \Longrightarrow ? 相同的奇数项和之比 a k b k \frac{a_k}{b_k} bk?ak??= S 2 k ? 1 T 2 k ? 1 \frac{S_{2k-1}}{T_{2k-1}} T2k?1?S2k?1??
S n = d 2 n 2 + ( a 1 ? d 2 ) n S_n=\frac{d}{2}n^2+(a_1-\frac{d}{2})n Sn?=2d?n2+(a1??2d?)n ? \Longrightarrow ? 对称轴为 n = ? a 1 ? d 2 2 × d 2 = 1 2 ? a 1 d n=-\frac{a_1-\frac{d}{2}}{2×\frac{d}{2}}=\frac{1}{2}-\frac{a_1}{d} n=?2×2d?a1??2d??=21??da1??，最值取在最靠近对称轴的整数处
? \Longrightarrow ?下标和：＋
? \Longrightarrow ?连续等长片段和/前n项和：新公差为 d n 2 dn^2 dn2
? \Longrightarrow ? 偶数项和与奇数项和之比：
若等差数列一共有 2 n 2n 2n项，则 S 偶 ? S 奇 = n d ， S 偶 S 奇 = a n + 1 a n S_偶-S_奇=nd，\frac{S_偶}{S_奇}=\frac{a_{n+1}}{a_n} S偶??S奇?=nd，S奇?S偶??=an?an+1??。
若等差数列一共有 2 n — 1 2n—1 2n—1项，则 S 奇 ? S 偶 = a n + 1 S_奇-S_偶=a_{n+1} S奇??S偶?=an+1?， S 奇 S 偶 = n n ? 1 \frac{S_奇}{S_偶}=\frac{n}{n-1} S偶?S奇??=n?1n?， S 2 n ? 1 = S 奇 + S 偶 = ( 2 n ? 1 ) a n S_{2n-1}=S_奇+S_偶=(2n-1)a_n S2n?1?=S奇?+S偶?=(2n?1)an?
? \Longrightarrow ? a n a_n an?与 S n S_n Sn?的快速转换： S n S_n Sn?的二次项系数是 a n a_n an?一次项系数的一半， a n a_n an?的一次项系数是 S n S_n Sn?二次项系数的二倍
? \Longrightarrow ? 轮换对称性
? \Longrightarrow ? 判定等差数列：①定义法： a n ? a n ? 1 = d a_n-a_{n-1}=d an??an?1?=d;②通项形如 a n = A n + B a_n=An+B an?=An+B;③前n项和形如 S n ? C n 2 + D n S_n-Cn^2+Dn Sn??Cn2+Dn】
类比记忆法：牢记等差，引出等比
【等比数列
? \Longrightarrow ? 通项公式： a n = a 1 q n ? 1 = a m q n ? m = a k q n ? k = a 1 q q n a_n=a_1q^{n-1}=a_mq^{n-m}=a_kq^{n-k}=\frac{a_1}{q}q^n an?=a1?qn?1=am?qn?m=ak?qn?k=qa1??qn
? \Longrightarrow ? 前n项和公式：当q=1时， S n = n a 1 ；当 q ≠ 1 时， S n = a 1 ( 1 ? q n ) 1 ? q = a 1 ? a n q 1 ? q = a 1 ? a n + 1 1 ? q S_n=na_1；当q≠1时，S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{a_1-a_nq}{1-q}=\frac{a_1-a_{n+1}}{1-q} Sn?=na1?；当q=1时，Sn?=1?qa1?(1?qn)?=1?qa1??an?q?=1?qa1??an+1??
? \Longrightarrow ?下标和：×
? \Longrightarrow ? 连续等长片段和：新公比为 q n q^n qn
? \Longrightarrow ? 偶数项和与奇数项和之比：
若等比数列一共有 2 n 2n 2n项，则 S 偶 S 奇 = q \frac{S_偶}{S_奇}=q S奇?S偶??=q。
若等比数列一共有 2 n 一 1 2n一1 2n一1项，则 S 奇 S_奇 S奇?与 S 偶 S_偶 S偶?之间的关系无规律。】

【莫名巧合：等差数列
通项公式： a n = A n + B a_n=An+B an?=An+B ? \Longrightarrow ? A = d ， B = a 1 ? d A=d，B=a_1-d A=d，B=a1??d
求和公式： S n = C n 2 + D n S_n=Cn^2+Dn Sn?=Cn2+Dn ? \Longrightarrow ? C = d 2 ， D = a 1 ? d 2 C=\frac{d}{2}，D=a_1-\frac{d}{2} C=2d?，D=a1??2d?
所以记住， A = d ， B = a 1 ? d ， C = d 2 ， D = a 1 ? d 2 ，验证： A + B = C + D A=d，B=a_1-d，C=\frac{d}{2}，D=a_1-\frac{d}{2}，验证：A+B=C+D A=d，B=a1??d，C=2d?，D=a1??2d?，验证：A+B=C+D】

【递推数列
? \Longrightarrow ?类等差数列 ? \Longrightarrow ?累加法
? \Longrightarrow ?类等比数列 ? \Longrightarrow ?累乘法
? \Longrightarrow ?构造等差数列 ? \Longrightarrow ?满足 b n + 1 ? b n = 常数 b_{n+1}-b_n=常数 bn+1??bn?=常数
? \Longrightarrow ?构造等比数列 ? \Longrightarrow ?满足
? \Longrightarrow ?没上述特点，列举前面若干项，寻找规律】

文章目录

数列

2023

真题（2023-18）-代数-数列-等比数列-性质-递增需要 a 1 ＞ 1 ， q ＞ 1 a_1＞1，q＞1 a1?＞1，q＞1；-代数-方程-一元二次方程-根-因式分解

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真题（2023-24）-代数-数列-等比数列- a n a_n an?与 S n S_n Sn?的关系（重要）

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2022

有趣，2022年跟等比中项杠上了

真题（2022-19）-代数-数列-等比数列-出现“三个数”-等比中项；-几何-平面几何

19.在△ 𝐴𝐵𝐶 中，𝐷 为 𝐵𝐶 边上的点， 𝐵𝐷 、 𝐴𝐵 、𝐵𝐶成等比数列，则 ∠𝐵𝐴𝐶 = 90°。
（1）𝐵𝐷 = 𝐷𝐶。
（2） 𝐴𝐷 ⊥ 𝐵𝐶。
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真题（2022-21）-代数-数列-等比数列-出现“三个数”，用等比中项- a c = b 2 ac=b^2 ac=b2；-代数-几何-平面几何-三角形-勾股定理

21.某直角三角形的三边长 𝑎 , 𝑏 , 𝑐 成等比数列，则能确定公比的值。
（1）𝑎 是直角边长。
（2）𝑐 是斜边长。
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真题（2022-23）-代数-数列-等比数列-出现“三个数”，用等比中项；+代数-函数-一元二次函数

23.已知𝑎，𝑏为实数，则能确定𝑎的值。
（1）𝑎，𝑏，𝑎 + 𝑏成等比数列。
（2）𝑎(𝑎 + 𝑏) > 0。
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真题（2022-24）-代数-数列-等差数列-判定等差数列：①定义法： a n ? a n ? 1 = d a_n-a_{n-1}=d an??an?1?=d;②通项形如 a n = A n + B a_n=An+B an?=An+B;③前n项和形如 S n ? C n 2 + D n S_n-Cn^2+Dn Sn??Cn2+Dn；-代数-数列-递推数列-形如 a n + 1 = a n + f ( n ) 或 a n + 1 ? a n = f ( n ) a_{n+1}=a_n+f(n)或a_{n+1}-a_n=f(n) an+1?=an?+f(n)或an+1??an?=f(n)，称为类等差数列，可以写出若干项，再相加求解。=先写出若干项，再用累加法求解。

24.已知正数列{ a n a_n an?}，则{ a n a_n an?}是等差数列。
（1） a n + 1 2 ? a n 2 = 2 n , n = 1 , 2 , . . . a_{n+1}^2-a_n^2=2n,n=1,2,... an+12??an2?=2n,n=1,2,...。
（2） a 1 + a 3 = 2 a 2 a_1+a_3=2a_2 a1?+a3?=2a2?。
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2021

真题（2021-02）-代数-数列-等差数列-出现“三”，用等差中项，2b=a+c；-前10题特值法、设未知数

2.三位年轻人的年龄成等差数列，且最大与最小的两人年龄差的10倍是另一人的年龄，则三人中年龄最大的是( )。
A.19
B.20
C.21
D.22
E.23
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真题（2021-24）-代数-数列-等比数列-等比数列判定-特征判断法-

24.已知数列{ a n a_n an?}，则数列{ a n a_n an?}为等比数列。
（1） a n a n + 1 ＞ 0 a_na_{n+1}＞0 an?an+1?＞0。
（2） a n + 1 2 ? 2 a n 2 ? a n a n + 1 = 0 a^2_{n+1}-2a^2_n-a_na_{n+1}=0 an+12??2an2??an?an+1?=0。
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真题（2021-25）-代数-数列-等差数列和等比数列；-几何-平面几何-三角形-相似；这种纯文字题，需要设未知数，但是很麻烦

25.给定两个直角三角形，则这两个直角三角形相似。
（1）每个直角三角形边长成等比数列。
（2）每个直角三角形边长成等差数列。

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2020

真题（2020-05）-代数-数列-等差数列-最值-等差数列的前n项和可以整理成一元二次函数的形式： S n = d 2 n 2 + ( a 1 ? d 2 ) n S_n=\frac{d}{2}n^2+(a_1-\frac{d}{2})n Sn?=2d?n2+(a1??2d?)n，对称轴为 n = ? a 1 ? d 2 2 × d 2 = 1 2 ? a 1 d n=-\frac{a_1-\frac{d}{2}}{2×\frac{d}{2}}=\frac{1}{2}-\frac{a_1}{d} n=?2×2d?a1??2d??=21??da1??，最值取在最靠近对称轴的整数处。or-莫名巧合：等差数列-通项公式： a n = A n + B a_n=An+B an?=An+B ? \Longrightarrow ? A = d ， B = a 1 ? d A=d，B=a_1-d A=d，B=a1??d；求和公式： S n = C n 2 + D n S_n=Cn^2+Dn Sn?=Cn2+Dn ? \Longrightarrow ? C = d 2 ， D = a 1 ? d 2 C=\frac{d}{2}，D=a_1-\frac{d}{2} C=2d?，D=a1??2d?，所以记住， A = d ， B = a 1 ? d ， C = d 2 ， D = a 1 ? d 2 ，验证： A + B = C + D A=d，B=a_1-d，C=\frac{d}{2}，D=a_1-\frac{d}{2}，验证：A+B=C+D A=d，B=a1??d，C=2d?，D=a1??2d?，验证：A+B=C+D

5、若等差数列{ a n a_n an?} 满足 a 1 = 8 a_1=8 a1?=8，且 a 2 + a 4 = a 1 a_2+a_4=a_1 a2?+a4?=a1?，则{ a n a_n an?} 的前n 项和的最大值为（ ）
A.16
B.17
C.18
D.19
E.20

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最值：
1.等差数列前n项和 S n S_n Sn?有最值的条件
（1）若 a 1 < 0 ， d > 0 a_1<0，d>0 a1?<0，d>0时， S n S_n Sn?有最小值。
（2）若 a 1 > 0 ， d < 0 a_1>0，d<0 a1?>0，d<0时， S n S_n Sn?有最大值。
2.求解等差数列 S n S_n Sn?最值的方法
（1）一元二次函数法
等差数列的前n项和可以整理成一元二次函数的形式： S n = d 2 n 2 + ( a 1 ? d 2 ) n S_n=\frac{d}{2}n^2+(a_1-\frac{d}{2})n Sn?=2d?n2+(a1??2d?)n，对称轴为 n = ? a 1 ? d 2 2 × d 2 = 1 2 ? a 1 d n=-\frac{a_1-\frac{d}{2}}{2×\frac{d}{2}}=\frac{1}{2}-\frac{a_1}{d} n=?2×2d?a1??2d??=21??da1??，最值取在最靠近对称轴的整数处。
特别地，若 S m = S n S_m=S_n Sm?=Sn?，即 S m + n = 0 S_{m+n}=0 Sm+n?=0时，对称轴为 m + n 2 \frac{m+n}{2} 2m+n?。
（2） a n = 0 a_n=0 an?=0法
最值一定在“变号”时取得，可令a=0，则有
① 若解得n为整数，则 S n = S n ? 1 S_n=S_{n-1} Sn?=Sn?1?均为最值。例如，若解得n=6，则 S 6 = S 5 S_6=S_5 S6?=S5?为其最值。
② 若解得n为非整数，则当n取其整数部分m（m=[n]）时， S m S_m Sm?取到最值。例如，若解得n=6.9，则 S 6 S_6 S6?为其最值。

真题（2020-11）-代数-数列-递推数列-没特点，列举若干项，找周期；类等差数列，累加法；类等比数列，累乘法。

11、已知数列{ a n a_n an?}满足 a 1 = 1 a_1=1 a1?=1， a 2 = 2 a_2=2 a2?=2，且 a n + 2 = a n + 1 ? a n ( n = 1 , 2 , 3 , . . . ) a_{n+2}=a_{n+1}-a_n(n=1,2,3,...) an+2?=an+1??an?(n=1,2,3,...)，则 a 100 a_{100} a100?=（ ）
A.1
B.-1
C.2
D.-2
E.0

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2019

真题（2019-15）-代数-数列-递推公式-构造等比数列-结论1：当看到 a n + 1 = q a n + c a_{n+1}= qa_n+c an+1?=qan?+c时，转化为 a n + 1 + k = q ( a n + k ) a_{n+1}+k=q(a_n+k) an+1?+k=q(an?+k)，其中 k = c q ? 1 k=\frac{c}{q-1} k=q?1c?，构造等比数列即可。

-秒杀：复杂选项（选多法）：复杂选项可秒杀，按多的选（选多法），选项哪些因素出现多，就选哪些（90%准确率）1、99多，排除选项DE；2、-1，+1多，排除选项B。结果只能是A,C。看题干a1=0，C任何情况的不为0，所以选A。
15、设数列{ a n {a_n} an?}满足 a 1 = 0 , a n + 1 ? 2 a n = 1 a_1=0,a_{n+1}-2a_n=1 a1?=0,an+1??2an?=1，则 a 100 = a_{100}= a100?=（）
A. 2 99 ? 1 2^{99}-1 299?1
B. 2 99 2^{99} 299
C. 2 99 + 1 2^{99}+1 299+1
D. 2 100 ? 1 2^{100}-1 2100?1
E. 2 100 + 1 2^{100}+1 2100+1
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秒杀：复杂选项（选多法）：复杂选项可秒杀，按多的选（选多法），选项哪些因素出现多，就选哪些（90%准确率）1、99多，排除选项DE；2、-1，+1多，排除选项B。结果只能是A,C。看题干a1=0，C任何情况的不为0，所以选A。

真题（2019-16）-代数-数列-等比数列-数列的判定-

16、甲、乙、丙三人各自拥有不超过10本图书，甲再购入2本图书后，他们拥有的图书量构成等比数列，则能确定甲拥有图书的数量。
(1) 已知乙拥有的图书数量。
(2) 已知丙拥有的图书数量。
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真题（2019-25）-代数-数列-等差数列-数列判定-特征判断法- S n S_n Sn?的特征：形如一个没有常数项的一元二次函数： S n = C n 2 + D n S_n=Cn^2+Dn Sn?=Cn2+Dn（C,D为常数）

25、设数列{ a n a_n an?}的前n项和为 S n S_n Sn?，则{ a n a_n an?}等差。
（1） S n = n 2 + 2 n , n = 1 , 2 , 3 S_n=n^2+2n,n=1,2,3 Sn?=n2+2n,n=1,2,3。
（2） S n = n + 2 n + 1 , n = 1 , 2 , 3 S_n=n^+2n+1,n=1,2,3 Sn?=n+2n+1,n=1,2,3。

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2018

真题（2018-07）-代数-数列-等比数列-无穷等比数列

7.四边形 A 1 B 1 C 1 D 1 A_1B_1C_1D_1 A1?B1?C1?D1?是平行四边形， A 2 B 2 C 2 D 2 A_2B_2C_2D_2 A2?B2?C2?D2?是 A 1 B 1 C 1 D 1 A_1B_1C_1D_1 A1?B1?C1?D1?四边的中点， A 3 B 3 C 3 D 3 A_3B_3C_3D_3 A3?B3?C3?D3?分别是 A 2 B 2 C 2 D 2 A_2B_2C_2D_2 A2?B2?C2?D2?四边中点，依次下去，得到四边形序列 A n B n C n D n A_nB_nC_nD_n An?Bn?Cn?Dn?(n = 1、2、3…) ，设 A n B n C n D n A_nB_nC_nD_n An?Bn?Cn?Dn?面积为 S n S_n Sn?，且 S 1 = 12 S_1=12 S1?=12，则 S 1 + S 2 + S 3 + . . . = （） S_1+S_2+S_3+...=（） S1?+S2?+S3?+...=（）
A. 16 16 16
B. 20 20 20
C. 24 24 24
D. 28 28 28
E. 30 30 30
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真题（2018-17）-B-代数-数列-等差数列-求和公式： S n = n ( a 1 + a n ) 2 = n a n + 1 2 （ n 为偶数时，可虚拟小数） = n a 1 + n ( n ? 1 ) 2 d = d 2 n 2 + ( a 1 ? d 2 ) n S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=na_{\frac{n+1}{2}}（n为偶数时，可虚拟小数）=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d=\frac{d}{2}n^2+(a_1-\frac{d}{2})n Sn?=2n(a1?+an?)?=na2n+1??（n为偶数时，可虚拟小数）=na1?+2n(n?1)?d=2d?n2+(a1??2d?)n

17.{ a n a_n an?}等差数列，则能确定 a 1 + a 2 + . . . + a 9 a_1+a_2+...+a_9 a1?+a2?+...+a9?的值。
（1）已知 a 1 a_1 a1?的值。
（2）已知 a 5 a_5 a5?的值。
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2017

真题（2017-03）-代数-数列-等差数列-出现“三”-等差中项-数列应用题

3.甲、乙、丙三种货车载重量成等差数列，2 辆甲种车和 1 辆乙种车的满载量为 95 吨，1辆甲种车和 3 辆丙种车载重量为 150 吨，则用甲、乙、丙各一辆车一次最多运送货物为（ ）吨。
A.125
B.120
C.115
D.110
E.105
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2016

真题（2016-24）-代数-数列-递推公式-直接计算法-举反例

24.已知数列 a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a 10 a_1,a_2,a_3,...,a_{10} a1?,a2?,a3?,...,a10?，则 a 1 ? a 2 + a 3 ? . . . + a 9 ? a 10 ≥ 0 a_1-a_2+a_3-...+a_9-a_{10}≥0 a1??a2?+a3??...+a9??a10?≥0
（1） a n ≥ a n + 1 , n = 1 , 2 , . . . , 9 a_n≥a_{n+1},n=1,2,...,9 an?≥an+1?,n=1,2,...,9
（2） a n 2 ≥ a n + 1 2 , n = 1 , 2 , . . . , 9 a_n^2≥a_{n+1}^2,n=1,2,...,9 an2?≥an+12?,n=1,2,...,9
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2015

真题（2015-20）-E-代数-数列-等差数列

20.设{ a n a_n an?}是等差数列，则能确定数列{ a n a_n an?}。
（1） a 1 + a 6 = 0 a_1+a_6=0 a1?+a6?=0
（2） a 1 a 6 = ? 1 a_1a_6=-1 a1?a6?=?1
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真题（2015-23）-代数-数列-等差数列-前n项和的最值-若 a 1 < 0 ， d > 0 a_1<0，d>0 a1?<0，d>0时， S n S_n Sn?有最小值。

23.已知数列{ a n a_n an?}是公差大于零的等差数列，{ S n S_n Sn?}是{ a n a_n an?}的前n 项和。则 S n ≥ S 10 ， n = 1 , 2 , . . . S_n≥S_{10}，n=1,2,... Sn?≥S10?，n=1,2,...
（1） a 10 = 0 a_{10}=0 a10?=0
（2） a 11 a 10 ＜ 0 a_{11}a_{10}＜0 a11?a10?＜0
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2014

真题（2014-07）-代数-数列-等差数列-出现“三”，用等差中项-

7.已知{ a n a_n an?}为等差数列，且 a 2 ? a 5 + a 8 = 9 a_2-a_5+a_8=9 a2??a5?+a8?=9 ，则 a 1 + a 2 + . . . + a 9 = （） a_1+a_2+...+a_9=（ ） a1?+a2?+...+a9?=（）
A.27
B.45
C.54
D.81
E.182
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真题（2014-18）-代数-数列-等差数列&等比数列-既是等差数列又是等比数列的数列是非零的常数列

18.甲、乙、丙三人的年龄相同
（1）甲、乙、丙的年龄成等差数列
（2）甲、乙、丙的年龄成等比数列

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真题（2014-21）-A-代数-数列-等差数列；-方程-一元二次方程-判别式- △ = b 2 ? 4 a c △=b^2-4ac △=b2?4ac

21.方程 x 2 + 2 ( a + b ) x + c 2 = 0 x^2+2(a+b)x+c^2=0 x2+2(a+b)x+c2=0 有实根。
（1） a, b, c 是一个三角形的三边长。
（2）实数a, b, c 成等差数列。
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2013

真题（2013-13）-代数-数列-等差数列-下标和公式；-代数-方程-一元二次方程-韦达定理- x 1 + x 2 = ? b / a x_1+x_2=-b/a x1?+x2?=?b/a

13.已知{ a n a_n an?}为等差数列，若 a 2 a_2 a2?和 a 10 a_{10} a10?是方程 x 2 ? 10 x ? 9 = 0 x^2-10x-9=0 x2?10x?9=0的两个根，则 a 5 + a 7 = a_5+a_7= a5?+a7?=（ ）。
A. ? 10 -10 ?10
B. ? 9 -9 ?9
C. 9 9 9
D. 10 10 10
E. 12 12 12
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真题（2013-25）-代数-数列-递推公式-难度升级-中间段才出现周期

25.设 a 1 = 1 , a 2 = k , . . . , a n + 1 = ∣ a n ? a n ? 1 ∣ , ( n ≥ 2 ) a_1=1,a_2=k,...,a_{n+1}=|a_n-a_{n-1}|,(n≥2) a1?=1,a2?=k,...,an+1?=∣an??an?1?∣,(n≥2) ，则 a 100 + a 101 + a 102 = 2 a_{100}+a_{101}+a_{102}=2 a100?+a101?+a102?=2
（1） k = 2 k = 2 k=2
（2）k 是小于 20 的正整数

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文章来源:https://blog.csdn.net/stqer/article/details/135117443
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