自动驾驶车辆的混合A*运动规划算法：路径规划和路径跟踪-MPC-LQR-PID算法

用于自动驾驶车辆的运动规划算法包括路径规划和路径跟踪。

• 路径规划（Path Planning）：路径规划是指在给定地图和起始点到目标点的情况下，确定车辆应该采取的最佳路径。常见的路径规划算法包括
  A* 算法、Dijkstra 算法、RRT（Rapidly-exploring Random Tree）等。

• 路径跟踪（Path
  Tracking）：路径跟踪是指车辆在实际行驶过程中，根据预先规划好的路径进行控制，使车辆能够沿着设定的路径行驶。常见的路径跟踪算法包括基于模型的控制方法（如PID控制器）、模型预测控制（Model
  Predictive Control, MPC）等。
  

混合A*

• 我们描述了一种实用的路径规划算法，为在未知环境中运行的自动驾驶车辆生成平滑的路径。
• 该算法通过机器人的传感器在线检测障碍物。这项工作是受到2007年DARPA城市挑战赛的启发，并在该比赛中进行了实验验证，其中机器人车辆必须自主导航停车场。
• 我们的方法包括两个主要步骤。第一步使用变体的著名A搜索算法，应用于车辆的三维运动状态空间，但采用修改后的状态更新规则，将车辆的连续状态捕捉到A的离散节点中（从而保证路径的运动可行性）.
• 然后，第二步通过数值非线性优化改进解决方案的质量，得到局部（经常是全局）最优解。
• 本文描述的路径规划算法被斯坦福赛车队的机器人Junior在城市挑战赛中使用。Junior在复杂的一般路径规划任务中表现出色，如导航停车场和在封闭道路上执行U型转弯，典型的完整循环重规划时间为50-300ms

。

线性模型预测控制（Linear Model Predictive Control，简称LMPC）

• 算法是一种基于模型预测的控制算法，用于解决连续状态和动作空间下的轨迹跟踪问题。该算法将轨迹跟踪问题转化为一个优化问题，通过优化控制序列来最小化当前状态与目标状态之间的误差。
• LMPC算法的基本思想是构建一个线性动态系统模型，并使用该模型进行多步预测。在每个时间步长，LMPC算法使用预测结果计算一个最优的控制序列，执行第一个控制动作，并重新计算当前状态。然后，算法采用新的当前状态和控制序列重新计算多步预测，并重复这个过程直到到达目标状态为止。
• LMPC算法的优点是可以处理非线性和非光滑的运动模式，并且可以在不同的环境中适应不同的控制任务。然而，由于LMPC算法需要在线解决一个优化问题，因此计算开销较大，并且需要足够快的计算速度以保证实时性。
  

LQR与Pid

• LQR（Linear Quadratic
  Regulator）是一种经典的线性控制器设计方法，用于设计连续状态空间下的最优反馈控制器。而PID（Proportional-Integral-Derivative）是一种常见的经典控制器，用于处理简单的线性和部分非线性控制问题。
• LQR +
  PID算法是将LQR和PID两种控制器结合起来使用的一种控制策略。该算法的基本思想是使用LQR控制器来提供系统的快速稳定性和优化性能，同时使用PID控制器来处理系统的静态偏差和纠正快速变化的扰动。
• 具体来说，LQR控制器通过优化系统的状态反馈增益矩阵，使系统的性能指标最小化。这种最优化的设计使得LQR控制器能够在系统响应速度和稳定性之间找到一个平衡点。
• 然而，LQR控制器通常无法完全消除系统的静态偏差，而且对于快速变化的扰动响应不够灵敏。为了解决这些问题，PID控制器可以添加到LQR控制器中。PID控制器可以根据系统误差的比例、积分和导数来调整控制信号，以实现更好的静态补偿和快速扰动响应。
  

通过将LQR和PID控制器结合起来，LQR + PID算法可以综合利用两者的优点，提供更快的响应速度、更好的稳定性和更好的静态补偿能力。

混合A star 代码

def calc_rs_path_cost(rspath):
    cost = 0.0

    for lr in rspath.lengths:
        if lr >= 0:
            cost += 1
        else:
            cost += abs(lr) * C.BACKWARD_COST

    for i in range(len(rspath.lengths) - 1):
        if rspath.lengths[i] * rspath.lengths[i + 1] < 0.0:
            cost += C.GEAR_COST

    for ctype in rspath.ctypes:
        if ctype != "S":
            cost += C.STEER_ANGLE_COST * abs(C.MAX_STEER)

    nctypes = len(rspath.ctypes)
    ulist = [0.0 for _ in range(nctypes)]

    for i in range(nctypes):
        if rspath.ctypes[i] == "R":
            ulist[i] = -C.MAX_STEER
        elif rspath.ctypes[i] == "WB":
            ulist[i] = C.MAX_STEER

    for i in range(nctypes - 1):
        cost += C.STEER_CHANGE_COST * abs(ulist[i + 1] - ulist[i])

    return cost


def calc_hybrid_cost(node, hmap, P):
    cost = node.cost + \
           C.H_COST * hmap[node.xind - P.minx][node.yind - P.miny]

    return cost


def calc_motion_set():
    s = np.arange(C.MAX_STEER / C.N_STEER,
                  C.MAX_STEER, C.MAX_STEER / C.N_STEER)

    steer = list(s) + [0.0] + list(-s)
    direc = [1.0 for _ in range(len(steer))] + [-1.0 for _ in range(len(steer))]
    steer = steer + steer

    return steer, direc


def is_same_grid(node1, node2):
    if node1.xind != node2.xind or \
            node1.yind != node2.yind or \
            node1.yawind != node2.yawind:
        return False

    return True


def calc_index(node, P):
    ind = (node.yawind - P.minyaw) * P.xw * P.yw + \
          (node.yind - P.miny) * P.xw + \
          (node.xind - P.minx)

    return ind


def calc_parameters(ox, oy, xyreso, yawreso, kdtree):
    minx = round(min(ox) / xyreso)
    miny = round(min(oy) / xyreso)
    maxx = round(max(ox) / xyreso)
    maxy = round(max(oy) / xyreso)

    xw, yw = maxx - minx, maxy - miny

    minyaw = round(-C.PI / yawreso) - 1
    maxyaw = round(C.PI / yawreso)
    yaww = maxyaw - minyaw

    return Para(minx, miny, minyaw, maxx, maxy, maxyaw,
                xw, yw, yaww, xyreso, yawreso, ox, oy, kdtree)

线性LQR控制代码

class TrajectoryAnalyzer:
    def __init__(self, x, y, yaw, k):
        self.x_ = x
        self.y_ = y
        self.yaw_ = yaw
        self.k_ = k

        self.ind_old = 0
        self.ind_end = len(x)

    def ToTrajectoryFrame(self, vehicle_state):
        """
        errors to trajectory frame
        theta_e = yaw_vehicle - yaw_ref_path
        e_cg = lateral distance of center of gravity (cg) in frenet frame
        :param vehicle_state: vehicle state (class VehicleState)
        :return: theta_e, e_cg, yaw_ref, k_ref
        """

        x_cg = vehicle_state.x
        y_cg = vehicle_state.y
        yaw = vehicle_state.yaw

        # calc nearest point in ref path
        dx = [x_cg - ix for ix in self.x_[self.ind_old: self.ind_end]]
        dy = [y_cg - iy for iy in self.y_[self.ind_old: self.ind_end]]

        ind_add = int(np.argmin(np.hypot(dx, dy)))
        dist = math.hypot(dx[ind_add], dy[ind_add])

        # calc lateral relative position of vehicle to ref path
        vec_axle_rot_90 = np.array([[math.cos(yaw + math.pi / 2.0)],
                                    [math.sin(yaw + math.pi / 2.0)]])

        vec_path_2_cg = np.array([[dx[ind_add]],
                                  [dy[ind_add]]])

        if np.dot(vec_axle_rot_90.T, vec_path_2_cg) > 0.0:
            e_cg = 1.0 * dist  # vehicle on the right of ref path
        else:
            e_cg = -1.0 * dist  # vehicle on the left of ref path

        # calc yaw error: theta_e = yaw_vehicle - yaw_ref
        self.ind_old += ind_add
        yaw_ref = self.yaw_[self.ind_old]
        theta_e = pi_2_pi(yaw - yaw_ref)

        # calc ref curvature
        k_ref = self.k_[self.ind_old]

        return theta_e, e_cg, yaw_ref, k_ref


class LatController:
    """
    Lateral Controller using LQR
    """

    def ComputeControlCommand(self, vehicle_state, ref_trajectory):
        """
        calc lateral control command.
        :param vehicle_state: vehicle state
        :param ref_trajectory: reference trajectory (analyzer)
        :return: steering angle (optimal u), theta_e, e_cg
        """

        ts_ = ts
        e_cg_old = vehicle_state.e_cg
        theta_e_old = vehicle_state.theta_e

        theta_e, e_cg, yaw_ref, k_ref = \
            ref_trajectory.ToTrajectoryFrame(vehicle_state)

        matrix_ad_, matrix_bd_ = self.UpdateMatrix(vehicle_state)

        matrix_state_ = np.zeros((state_size, 1))
        matrix_r_ = np.diag(matrix_r)
        matrix_q_ = np.diag(matrix_q)

        matrix_k_ = self.SolveLQRProblem(matrix_ad_, matrix_bd_, matrix_q_,
                                         matrix_r_, eps, max_iteration)

        matrix_state_[0][0] = e_cg
        matrix_state_[1][0] = (e_cg - e_cg_old) / ts_
        matrix_state_[2][0] = theta_e
        matrix_state_[3][0] = (theta_e - theta_e_old) / ts_

        steer_angle_feedback = -(matrix_k_ @ matrix_state_)[0][0]

        steer_angle_feedforward = self.ComputeFeedForward(k_ref)

        steer_angle = steer_angle_feedback + steer_angle_feedforward

        return steer_angle, theta_e, e_cg

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