2. 回归树

发布时间：2023年12月27日

目录

1. 回归树的数学表达式

1.1 公式

1.2 举例

2. 如何构建回归树

2.1 树的深度如何决定

2.1.1 第一种（确定叶子节点个数或者树的深度）

2.1.2?第二种（子节点所包含样本数）

2.1.3?第三种（给定精度）

2.2?划分的节点如何选取

2.3 叶子节点代表的值Cm如何决定

3.损失函数

3.1 公式

3.2? ?优化

3.2.1 结论

3.2.2 推导过程

1. 回归树的数学表达式

1.1 公式

f(x)=\sum_{m=1}^{M}c_mI(x\in R_m),?

  • m就是叶子结点中的序号
  • Rm是第m个叶子结点
  • Cm是第m个叶子节点的预测值
  • I指的是当后面括号里面条件满足时,为1
  • 括号中的是，x属于那个结点
  • 每个叶子节点，都会输出一个预测值
  • 预测值一般是该 叶子 所含训练样本 在该节点上的输出的均值

1.2 举例

假设有数据集如下,? ?x 代表房屋面积，y代表租金

D = {(75, 1000), (90, 2000), (105, 4000)}

# 75 平的，月租1000块钱
# 90 平的 2000块钱
# 105 平的，4000块钱

????????根据图中的划分， R1（第一个叶子结点）和 R2（第二个节点）就是公式中的Rm

????????C1，C2就是公式中的Cm, 指的不是类别，是一个数，这个数和 Y的含义是一样的，即租金是多少也即是说当C1和C2这些叶子结点所代表的一些值确定的时候，当再来一个未知的样本的时候，比如说，给出房屋面积100平方，那这个房屋面积为100的样本输入进来之后，这颗树的一些路径，最后判断从那个叶子结点输出， 比如上图，102平方的房屋最后判断的是C2这个叶子结点的输出，那C2这个值就可能是5000，4500等，即就是最终预测的值。图中只是做了一次划分，而在实际中会有很多的划分。

2. 如何构建回归树

2.1 树的深度如何决定

大多数是由我们自己定义

2.1.1 第一种（确定叶子节点个数或者树的深度）

无法控制精确度

2.1.2?第二种（子节点所包含样本数）

子节点划分到多少个的时候，就不继续划分了

2.1.3?第三种（给定精度）

计算的总体的损失小于给定的精度的时候，不再划分

2.2?划分的节点如何选取

根据可以定的取值，构建出来的树，每个都计算一下对应损失，然后选损失最小的节点构建出来的数的值。

2.3 叶子节点代表的值Cm如何决定

具体可看，3.2.2的推导过程

每当叶子节点的Cm取值，为该节点所有样本yi的平均值时，得到损失最小，即最优的回归树

3.损失函数

3.1 公式

\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(f(x_i)-y_i)^2

  • n 代表样本的数量
  • i 代表第几个样本

3.2? ?优化

3.2.1 结论

C_m=\frac{\sum_{x\in R_m}y_i}{N_m}

  • N_m的含义：第m个节点中，叶子节点所包含的样本的个数

当每个叶子节点的Cm取值，为该节点所有样本yi 的平均值是，得到损失最小，即最优的回归树

3.2.2 推导过程

即： 每当叶子节点的Cm取值，为该节点所有样本yi的平均值时，得到损失最小，即最优的回归树

未完待续

文章来源:https://blog.csdn.net/wei18791957243/article/details/135221725
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