信息学奥赛之《向量几何一文通》

Geometry

1. $\pi$：$\arccos (?1)$
2. 余弦定理：对于任意三角形（三边长为 $a,b,c$），则有 $c^2=a^2+b^2?2ab{\cos }_{\theta }$，其中 $\theta$ 为 $a,b$ 边的夹角。
3. 正弦定理：$\frac{a}{{\sin }_{\alpha }}=\frac{b}{{\sin }_{\beta }}=\frac{c}{{\sin }_{\theta }}$

4. 向量的加法：$\vec{A}+\vec{B}=\vec{C}$

5. 向量的减法：$\vec{A}?\vec{B}=\vec{C}$（按照加法的定义并通过平移旋转即可得到）

   

6. 内积（点积）：$\vec{A}?\vec{B}=|\vec{A}||\vec{B}|{\cos }_{\theta }$

   几何意义：向量 $\vec{A}$ 在向量 $\vec{B}$ 上的投影与 $\vec{B}$ 的长度的乘积

   Code：（证明略）

   double dot (Point A, Point B) { return A.x * B.x + A.y * B.y }
   

7. 外积（叉积）：$\vec{A}\times \vec{B}=|\vec{A}||\vec{B}|{\sin }_{\theta }$

   几何意义：向量 $\vec{A}$ 与向量 $\vec{B}$ 组成的平行四边形的面积（$\vec{B}$ 在 $\vec{A}$ 的逆时针方向为正）

   Code：（证明略）

   double cross(Point A, Point B) { return A.x * B.y - B.x * A.y }
   

   

8. 向量取模（向量的长度）

   向量的长度为 $\sqrt{\mathrm{do}{\mathrm{t}}_{\vec{\mathrm{a}},\vec{\mathrm{a}}}}$，即 $\sqrt{x^2+y^2}$

   注意：前面包括后面的所有向量都默认起点为平面直角坐标系原点

   Code：

   double Length(Point A) { return sqrt(dot(a, a)); }
   

9. 计算向量夹角

   已知向量的点积为 $|\vec{A}||\vec{B}|{\cos }_{\theta }$，现在要求 $\theta$，就是 KaTeX parse error: Undefined control sequence: \acos at position 1: \?a?c?o?s?_\frac{\vec A \…

   Code：

   double Angle(Point A, Point B) { return acos(dot(A, B)) /  Length(A) / Length(B)}
   

10. 向量 $\vec{A}$ 顺时针旋转 $\theta$ 角度

    $(x,y)\left[\begin{array}{cc}{\cos }_{\theta }& ?{\sin }_{\theta }\\ {\sin }_{\theta }& {\cos }_{\theta }\end{array}\right]$

    其中 $(x,y)$ 表示向量 $\vec{A}$，证明略。

    Code：

    Point Rotate(Point A, int Theta)
    {
        return Point(A.x * cos(Theta) + A.y * sin(Theta), -A.x * sin(Theta) + A.y * cos(Theta))
    }
    

11. 直线点向式表示方式：$P+t\vec{V}$

12. 判断点在直线上：$\vec{A}\times \vec{B}=0$，$\vec{B}$ 是表示该直线的向量，$\vec{A}$ 是该点与 $\vec{B}$ 的起点所组成的向量

13. 判断 $2$ 条直线的位置关系，交点的位置（如果有）

    cross(v, w) = 0，则两直线平行或重合。

    两条直线：$P+t\vec{V}$，$Q+t\vec{W}$

    

    ${\vec{V}}^{\prime }$ 为 $\vec{V}$ 的平移，红线为两个三角形的高，此时必有 $2$ 个三角形相似

    

    即，$2$ 个紫色三角形是相似的，因为 ${\vec{V}}^{\prime }$ 是 $\vec{V}$ 的平移，所以内错角相等，即 KaTeX parse error: Undefined control sequence: \ang at position 1: \?a?n?g? ?FMJ=\ang HLM，且都是直角三角形，所以相似。那么，$\frac{FJ}{MH}=\frac{FK}{LH}$，因为 $LH=|\vec{V}|$，所以 $\frac{FJ}{MH}=\frac{FK}{|\vec{V}|}$，而 $K$ 的坐标为 $P+\vec{V}\frac{FK}{|\vec{V}|}$。所以只需要求出 $\frac{FJ}{MH}$ 即可，而 $\frac{FJ}{MH}$ 恰好等于 $\frac{\vec{W}\times \vec{u}}{\vec{V}\times \vec{W}}$。

    故，$K$ 点的坐标为 $P+\vec{V}\frac{\vec{W}\times \vec{u}}{\vec{V}\times \vec{W}}$

    Point Line_Intersection(Point P, Vector V, Point Q, Vector W)
    {
        Vector u = P - Q;
        return P + V * cross(W, u) / cross(V, W);
    }
    

14. 点到直线的距离

    

    设向量 $\vec{V}$ 为 $B?A$，$\vec{W}$ 为 $P?A$。

    则有，$\frac{\vec{V}\times \vec{W}}{\mathrm{Lengt}{\mathrm{h}}_{\vec{\mathrm{V}}}}$ 为点 $P$ 到 $AB$ 的距离。

15. 点到线段的距离

    与 $14$ 略有不同，边界情况：如果线段为 $1$ 个点，则就是 $P$ 与线段端点所组成的向量的模长。

    如果 $\overrightarrow{V_1}?\overrightarrow{V_2}<0$，则为 $|\overrightarrow{V_2}|$。解释：${\vec{V}}_1?{\vec{V}}_2$ 的符号正负取决于 ${\cos }_{\theta }$，当 $\theta >90°$ 时，${\cos }_{\theta }<0$，恰好是到线段左端点的距离为点 $P$ 到线段的距离。
    

    如果 ${\vec{V}}_3?{\vec{V}}_1>0$，则为 $|{\vec{V}}_3|$，证明类似。

    反之，则为点到直线的距离。

16. 点在直线上的投影

    用点积来求，$A+\vec{V}(\frac{\mathrm{do}{\mathrm{t}}_{\vec{\mathrm{V}},\overrightarrow{\mathrm{p}?\mathrm{a}}}}{\mathrm{do}{\mathrm{t}}_{\vec{\mathrm{V}},\vec{\mathrm{V}}}})$

    与上面类似

17. 点 $P$ 是否在线段 $AB$ 上

    首先，$\mathrm{cros}{\mathrm{s}}_{\mathrm{P}?\mathrm{A},\mathrm{P}?\mathrm{B}}=0$，这样保证了 $P,A,B$ 三点共线。

    其次，$\mathrm{do}{\mathrm{t}}_{\mathrm{P}?\mathrm{A},\mathrm{P}?\mathrm{B}}\le 0$，即 ${\cos }_{\theta }\le 0$，当 $P$ 在线段上，$2$ 个向量相向，$\theta$ 为 $180°$，$\cos$ 为负。

18. 判断 $2$ 条 线段 是否相交
    

    即判断 $A_2,B_2$ 是否在 $A_1{B}_1$ 的 $2$ 侧，且 $A_1,B_1$ 在 $A_2,B_2$ 的 $2$ 侧。

    用叉积做即可。