手工计算层次分析法的最大特征根和特征向量

层次分析法在实际应用时，可以用成对比较阵A的列向量的平均值近似代替特征向量，称为和法，其步骤是：先将A的每一列向量归一化，按行求和后再归一化，得到 $w=(a_1,a_2,...,a_n{)}^T$ 即为近似特征向量，并将 $\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n\frac{(Aw{)}_i}{a_i}$(可以看例子理解)作为近似最大特征根。

设 $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 1/2& 1/3\\ 2& 1& 1\\ 3& 1& 1\end{array}\right]$，用和法计算近似特征向量和近似最大特征根。

解：
【1】求特征向量：

$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 1/2& 1/3\\ 2& 1& 1\\ 3& 1& 1\end{array}\right]$

$\underrightarrow{各列归一化}\left[\begin{array}{ccc}1/6& 1/5& 1/7\\ 1/3& 2/5& 3/7\\ 1/2& 2/5& 3/7\end{array}\right]$

$\underrightarrow{各行求和}\left[\begin{array}{c}107/210\\ 122/105\\ 93/70\end{array}\right]$

$\underrightarrow{再归一化}\left[\begin{array}{c}107/630\\ 122/315\\ 31/70\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{c}0.1698\\ 0.3873\\ 0.4429\end{array}\right]=w$

【2】求最大特征根：

$\lambda =\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n\frac{(Aw{)}_i}{a_i}$

其中 $Aw=\left[\begin{array}{ccc}1& 1/2& 1/3\\ 2& 1& 1\\ 3& 1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0.1698\\ 0.3873\\ 0.4429\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0.5111\\ 1.1698\\ 1.3396\end{array}\right]$

则 $\lambda =\frac{1}{3}(\frac{0.5111}{0.1698}+\frac{1.1698}{0.3873}+\frac{1.3396}{0.4429})=3.0183$