LeetCode刷题--- 买卖股票的最佳时机 IV

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数据结构与算法

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前言：这个专栏主要讲述动态规划算法，所以下面题目主要也是这些算法做的 ?

我讲述题目会把讲解部分分为3个部分：
1、题目解析

2、算法原理思路讲解

3、代码实现

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买卖股票的最佳时机 IV

题目链接：买卖股票的最佳时机 IV

题目

给你一个整数数组?prices?和一个整数?k?，其中?prices[i]?是某支给定的股票在第?i?天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成?k?笔交易。也就是说，你最多可以买?k?次，卖?k?次。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1：

输入：k = 2, prices = [2,4,1]
输出：2
解释：在第 1 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 2 天 (股票价格 = 4) 的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-2 = 2 。

示例 2：

输入：k = 2, prices = [3,2,6,5,0,3]
输出：7
解释：在第 2 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 3 天 (股票价格 = 6) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-2 = 4 。
     随后，在第 5 天 (股票价格 = 0) 的时候买入，在第 6 天 (股票价格 = 3) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。

提示：

• 1 <= k <= 100
• 1 <= prices.length <= 1000
• 0 <= prices[i] <= 1000

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解法

算法原理讲解

我们这题使用动态规划，我们做这类题目可以分为以下五个步骤

1. 状态显示
2. 状态转移方程
3. 初始化（防止填表时不越界）
4. 填表顺序
5. 返回值

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• 状态显示

• 状态转移方程

对于 f[ i ][ j ] ，我们有两种情况到这个状态：

1. 在 i - 1 天的时候，交易了 j 次，处于「买?」状态，第 i 天啥也不?即可。此时最大利润为： f[i - 1][j] ；
2. 在 i - 1 天的时候，交易了 j 次，处于「卖出」状态，第 i 天的时候把股票买了。此时的最?利润为： g[i - 1][j] - prices[i] 。
3. 综上，我们要的是「最大利润」，因此是两者的最?值： f[i][j] = max(f[i - 1][j],g[i - 1][j] - prices[i]) 。

对于 g[i][j] ，我们也有两种情况可以到达这个状态：

1. 在 i - 1 天的时候，交易了 j 次，处于「卖出」状态，第 i 天啥也不?即可。此时的 最大利润为： g[i - 1][j] ；
2. 在 i - 1 天的时候，交易了 j - 1 次，处于「买?」状态，第 i 天把股票卖了，然后就完成了 j 次交易。此时的最?利润为： f[i - 1][j - 1] + prices[i] 。但是这个状态不?定存在，要先判断?下。
3. 综上，我们要的是最?利润，因此状态转移?程为：
   1. g[ i ][ j ] = g[i - 1][ j ];
   2. if(j >= 1) g[ i ][ j ] = max(g[ i ][ j ]?, f[i - 1][j - 1] + prices[i]);

• 初始化（防止填表时不越界）

由于需要?到 i = 0 时的状态，因此我们初始化第??即可。

1. 当处于第 0 天的时候，只能处于「买?过?次」的状态，此时的收益为 -prices[0] ，因此 f[0][0] = - prices[0] 。
2. 为了取 max 的时候，?些不存在的状态「起不到?扰」的作?，我们统统将它们初始化为 - N_MIN?（? INT_MIN 在计算过程中会有「溢出」的?险，这? N_MIN?折半取0x3f3f3f3f ，?够小即可）
   ?

• 填表顺序

从「上往下填」每??，每??「从左往右」，两个表「?起填」。

• 返回值

返回处于「卖出状态」的最?值，但是我们也「不知道是交易了多少次」，因此返回?g?表最后?行的最大值。

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代码实现

class Solution {
public:
    const int N_MIN = 0x3f3f3f3f; 
    int maxProfit(int k, vector<int>& prices) 
    {
        int n = prices.size();
        vector<vector<int>> f(n, vector<int>(k+1, -N_MIN));
        auto g = f;

        f[0][0] = -prices[0];
        g[0][0] = 0;

        for (int i = 1; i < n; i++)
        {
            for (int j = 0; j <= k; j++)
            {
                f[i][j] = max(f[i-1][j], g[i-1][j]-prices[i]);
                g[i][j] = g[i-1][j];

                if (j >= 1)
                {
                    g[i][j] = max(g[i][j], f[i - 1][j - 1] + prices[i]);
                }
            }
        }

        // 找到最后??的最?值
        int ret = 0;
        for(int j = 0; j < k+1; j++)
        {
            ret = max(ret, g[n - 1][j]);
        }
        return ret;
    }
};