【C++进阶】心心念念的红黑树，它来了！

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一、红黑树的概念

• 红黑树是除AVL-tree之外，另一个被广泛运用的平衡二叉搜索树。
• 红黑树比AVL-tree还牛逼。这是因为AVL-tree需要严格遵守平衡因子不超过1的规则；而红黑树是 通过颜色（红/黑）的限制，来达到最长路径不超过最短路径的2倍，因此并不是严格的平衡，而是近似平衡。

二、红黑树的规则总结

1. 每个结点不是红色就是黑色。
2. 根节点必须是黑色的。
3. 如果一个节点是红色的，那么它的孩子结点必须是黑色的（说明任何路径不可能存在连续的红色结点）
4. 对于每个结点，从根到空结点NIL，黑色结点的数量相等。
5. 每个空结点NIL都是黑色的。

需要注意的是，在红黑树中，路径是由根结点到空结点。

根据以上规则，一颗红黑树就诞生了

上图中，红黑树的路径有11条！

三、红黑树的定义

红黑树和AVL-tree都是一个三叉链结构，只是控制平衡的方式不同，红黑树是通过颜色来控制的

#pragma once

#include <utility>
#include <iostream>
using namespace std;

// 颜色
enum Colour
{
	RED,
	BLACK
};

template <class K, class V>
struct RBTreeNode 
{
	pair<K, V> _key;
	struct RBTreeNode<K, V>* _left;
	struct RBTreeNode<K, V>* _right;
	struct RBTreeNode<K, V>* _parent;
	Colour _col;

	RBTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_key(kv)
		,_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_parent(nullptr)
		,_col(RED)
	{}
};

template <class K, class V>
class RBTree
{
	typedef struct RBTreeNode<K, V> Node;

public:
	// 默认构造
	RBTree()
		:_root(nullptr)
	{}
	
private:
	Node* _root;
};

为什么要定义parent指针，详细讲解请参考AVL章节：点击跳转

四、新增结点颜色的选择

在红黑树中，新增的默认结点颜色可以选择红色，也可以选择黑色。但是，建议选择红色。

接下来分析为什么选择红色。

• 如果为新增结点默认为红色，可能违反原则3：【如果一个节点是红色的，它的孩子结点必须是黑色的】，那么需要进行适当调整。当然也可能不需要调整。

• 如果为新增结点默认为黑色，必然违反原则4：【对于每个结点，从根到空结点NIL，黑色结点的数量相等】，并且因为这一条路，影响了其他所有路径，可能需要对现有的红黑树进行更多的旋转和重新着色操作，从而导致更大的改动，增加了调整平衡的复杂度。

因此，为了尽可能少地改变树的结构，让新结点默认为红色，插入后，不一定调整，但即使调整，也不至于影响全局。

五、插入分析及代码实现

5.1 前言

RB-tree的平衡条件虽然不同于AVL-tree，但同样运用了单旋转和双旋转来调节平衡。

为了方便讨论，可以为某些特殊结点“取别名”。

• 插入的新结点为cur

• 新结点的父结点为parent

• 新结点的祖父结点为(父结点的父亲)grandparent

• 叔叔结点(父结点的兄弟结点)为uncle

通常情况下，我们会 特别关注叔叔结点。具体来说会有以下三种情况：

5.2 uncle存在且为红

• 当cur插在parent的左边时
  

解决方法：变色 + 继续向上更新看是否需要调整。

• 【变色】：结点parent（父亲结点一定要为黑色）和uncle变黑，grandparent变红。变色操作是保证每条路径的黑节点个数相同，并且在grandparent这个子树中，暂时解决了出现连续的红结点的情况。
  

• 【向上调整】：解决整个树可能出现连续红结点情况（三种）：

① 如果grandparent没有父亲：将祖父grandparent变黑即可。

② 如果grandparent有父亲，且父亲是黑色的，那么不用调整。

③ 如果grandparent有父亲，且父亲是红色的，就要向上进行调整，因为不能出现连续的红色结点。具体的情况也就只有3种

比如说以下这种：

此时uncle为红色，并且cur插在parent的右边。虽然插入位置不同，但解决方法还是一样的。

• 当cur插在parent的右边时

解决方法：变色 + 继续向上更新看是否需要调整。详细细节可以看看上面的解释说明

5.3 当uncle不存在

• 当uncle不存在于grandparent的右边时

解决方法：旋转 + 变色。

• 【旋转】：什么旋转是根据cur插入的位置来定的。如果插入在parent的左边，那么就要以grandparent结点进行右单旋；如果插入在parent的右边，就要进行双旋，先左单旋，最后再右单旋。

• 【变色】：parent变黑，grandparent变红。

• 当uncle不存在于grandparent的左边时

解决方法还是一样：旋转 + 变色。这里就不再重点讲解了，大家看看下图来领会吧 ~

接下来再基于uncle不存在时，看看 【双旋】 是怎么个事：

• 当uncle不存在于grandparent的左边时

解决方法同样是变色

• 【双旋】：我们在上面说过，对于uncle不存在于grandparent的左边这种情况，并且cur插入在parent的左侧，那么就要进行双旋。首先先对parent进行右单旋；再对parent进行左单旋。

• 【变色】：将cur变黑，grandparent变红

当然了，对于对于uncle不存在于grandparent的右边这种情况，并且cur插入在parent的右侧。这种调整的解决方法同样是双旋 + 变色。双旋是先对于parent左旋转，再对grandparent右旋，最后再将cur变黑以及grandparent变红。由于演示的样例过多，这里就不再演示了hh

5.4 uncle存在且为黑

来看看一下这种情况

首先我们需要处理uncle存在且为红的情况，解决方法很简单：变色 + 继续向上更新

继续向上更新时，就出现了uncle存在且为黑的情况

解决方法：旋转 + 变色（parent变黑、grandparents变红）

我们发现：uncle存在且为黑的情况好像和uncle不存在的解决方法是一模一样的，因此我们可以将其归为一类。

六、对插入操作总结一波

6.1 uncle存在且为红

解决方式：变色 + 向上调整

【变色】：将parent和unlce改为黑，grandparent改为红。

【向上调整】：把grandparent当成cur，继续向上调整。在调整的过程中，如果grandparent是根结点，则直接将其变黑。

6.2 uncle不存在或uncle存在且为黑

解决方法：旋转 + 变色

注意：什么旋转是根据cur插入的位置来定的。

• 【单旋转】 如果cur插入在parent的左边，那么就要以grandparent结点进行右单旋
  【变色】 parent变成黑色，grandparent变为红色。

• 【双旋转】 如果cur插入在parent的右边，就要进行双旋，先左单旋，最后再右单旋。
  【变色】 cur变成黑色（旋转后cur变为根了，根一定为黑），grandparent变为红色。

当然了，以上的情况均是以parent作为grandparent的左孩子分析的，还需要考虑parent作为grandparent的右孩子，其本质是不变。我大致为大家总结了一下：

1. 不需要旋转的代码都一样。
2. 旋转部分的代码要注意结点的方向。

6.3 代码实现

bool Insert(const pair<K, V>& key)
{
	// 如果一开始根结点为空，直接插入即可
	if (_root == NULL)
	{
		_root = new Node(key); // new会自动调用自定义类型的构造函数
		_root->_col = BLACK; // 规则1：根结点_root必须是黑色的
		return true;
	}

	// 如果一开始根结点不为空，就要找到合适的位置插入
	Node* parent = nullptr;
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		if (cur->_key.first < key.first)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else if (cur->_key.first > key.first)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else // 出现数据冗余，插入失败
		{
			return false;
		}
	}
	// 当cur走到空，说明已经找到了合适的位置
	cur = new Node(key);
	cur->_col = RED; // 插入的新结点必须是红色的
	
	if (parent->_key.first < key.first)
	{
		parent->_right = cur;
	}
	else
	{
		parent->_left = cur;
	}
	cur->_parent = parent;

	// 控制平衡：通过颜色(红/黑)的限制，来达到最长路径不超过最短路径的2倍
	while (parent && parent->_col == RED) // 向上调整的条件
	{
		Node* grandparent = parent->_parent; // 找祖父
		// 如果父亲在祖父的左边
		if (parent == grandparent->_left)
		{
			// 那么uncle一定在祖父的右边
			Node* uncle = grandparent->_right;

			// 情况1：如果uncle存在且为红
			if (uncle && uncle->_col == RED)
			{
				// 解决方法：父亲和叔叔的颜色变黑，祖父变红 + 向上处理

				parent->_col = uncle->_col = BLACK;
				grandparent->_col = RED;
				// 向上处理
				cur = grandparent;
				parent = cur->_parent;
			}

			// 情况2：叔叔不存在或叔叔存在且为黑
			// 解决方法：旋转 + 变色
			else
			{
				// 1. 插入在parent的左边：单旋 + 变色
				if (cur == parent->_left)
				{
					//     g
					//   p
					// c
					
					// 右单旋转
					RotateRight(grandparent);
					// 变色
					parent->_col = BLACK;
					grandparent->_col = RED;
				}
				// 2. 插入在parent的右边：双旋 + 变色
				else
				{
					//     g
					//   p
					//     c

					RotateLeft(parent);
					RotateRight(grandparent);

					cur->_col = BLACK;
					grandparent->_col = RED;
				}
				// 旋转完之后红黑树一定平衡，不需要向上调整
				// 因为旋转后，树/子树的根一定是黑色
				break;
			}
		}

		else // parent == grandparent->_right
		{
			// parent在grandparent的右，那么uncle一定在grandparent的左
			Node* uncle = grandparent->_left;

			// 情况1：如果uncle存在且为红
			// 解决方法：父亲和叔叔的颜色变黑，祖父变红 + 向上处理
			if (uncle && uncle->_col == RED)
			{
				// 变色
				parent->_col = uncle->_col = BLACK;
				grandparent->_col = RED;
				// 向上处理
				cur = grandparent;
				parent = cur->_parent;
			}
			// 情况2：uncle不存在且uncle为黑
			else
			{
				if (cur == parent->_right)
				{
					//  g
					//     p
					//        c
					RotateLeft(grandparent);
					grandparent->_col = RED;
					parent->_col = BLACK;
				}
				else
				{
					//  g
					//     p
					//  c
					RotateRight(parent);
					RotateLeft(grandparent);
					cur->_col = BLACK;
					grandparent->_col = RED;
				}
				break;
			}
		}
	}
	// 当循环退出来到此处，有两种情况
	// 第一种是break出来的，那么红黑树是百分之百已经调整好的
	// 还有一种是向上调整的过程中父亲为空，那么此时根结点可能为空
	// 因此我们可以直接进行暴力处理将根结点的颜色变为黑。因为根为黑是必定的！
	_root->_col = BLACK; 

	return true;
}

• 至于旋转代码大家可以参考AVL树的博客：点击跳转。
• 或者参考我的代码仓库：点击跳转

七、验证红黑树

注意：不能使用最长路径（高度）不能超过最短路径的2倍来验证，因为你写的程序有可能会破坏红黑树的规则，比如说你写的红黑树可能会出现连续的红色结点，可能会出现最长路径不会超过最短路径的2倍。我们这里使用红黑树的规则来进行检查。

// backnumber - 用于统计黑色结点的数量
// benchmark - 基准值。此变量是为了求出一条路径的黑色结点个数作为基准值
bool CheckColour(Node* root, int blacknums, int benchmark)
{
	if (root == nullptr)
	{
		// 前序遍历走到空就拿backnumber与基准值benchmark比较即可
		if (blacknums != benchmark)
		{
			return false;
		}
		return true;
	}

	// 2. 每条路径的黑色结点数量相等
	if (root->_col == BLACK) // 遇到黑结点backnumber自增1
	{
		++blacknums;
	}

	// 2. 不可能出现连续的红结点
	// 检查当前结点的颜色和其父亲结点的颜色即可
	if (root->_col == RED && root->_parent && root->_parent->_col == RED)
	{
		cout << root->_key.first << "连续红色结点" << endl;
		return false;
	}

	// 递归检查左子树和右子树
	return CheckColour(root->_left, blacknums, benchmark)
		&& CheckColour(root->_right, blacknums, benchmark);
}

bool _IsBalance(Node* root)
{
	// 根结点为空也算红黑树
	if (root == nullptr)
	{
		return true;
	}
	// 1. 每个结点不是红色就是黑色。(这个不需要验证)
	// 2. 根节点必须是黑色的。
	if (root->_col != BLACK)
	{
		return false;
	}

	int benchmark = 0;	
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		if (cur->_col == BLACK)
		{
			++benchmark;
		}
		cur = cur->_left;
	}

	// 3. 颜色的检查
	return CheckColour(root, 0, benchmark);
}

八、红黑树与AVL树的比较

红黑树和AVL树都是自平衡的二叉搜索树，它们在维护树的平衡性方面有些不同，因此在不同的应用场景下会有不同的性能表现。

1. 平衡性：

   • AVL树：AVL树通过保持任意节点的左右子树高度之差不超过1来维护平衡。（严格平衡）
   • 红黑树：红黑树通过保持以五个性质来维护平衡。（近似平衡）

2. 插入和删除操作：

   • AVL树：AVL树在进行插入和删除操作时，也会通过旋转来调整树的结构并保持平衡。但相比红黑树，AVL树对平衡的要求更加严格，可能需要进行更多的旋转操作。这使得插入和删除操作的时间复杂度略高于红黑树，为O(log n)。

   • 红黑树：红黑树在进行插入和删除操作时，只需通过旋转和颜色变换来调整树的结构并保持平衡。这些操作的时间复杂度为O(log n)，其中n是树的节点数量。

3. 查询操作：

   • 红黑树和AVL树在查询操作上具有相同的时间复杂度，都为O(log n)。这是因为它们都是二叉搜索树，具有相似的查找性能。

4. 存储空间：

   • 红黑树：红黑树通过颜色标记来维护平衡，需要额外存储每个节点的颜色信息，因此在空间上稍微占用更多的内存。
   • AVL树：AVL树不需要额外的信息来维护平衡，因此在空间上相对较小。

综上所述：红黑树和AVL树都是高效的平衡二叉树，增删改查的时间复杂度都是O($lo{g}_{2}N$)，红黑树不追求绝对平衡，其只需保证最长路径不超过最短路径的2倍，相对而言，降低了插入和旋转的次数，所以在经常进行增删的结构中性能比AVL树更优，而且红黑树实现比较简单，所以实际运用中红黑树更多。

九、代码

本篇博客我放到gitte仓库了，感兴趣的小伙伴可以自取：点击跳转

对了，关于红黑树的删除操作大家不用担心，因为在面试中一般只会考察插入操作 ~