【学习笔记】2、逻辑代数与硬件描述语言基础

2.1 逻辑代数

（1）逻辑代数的基本定律和恒等式

基本定律	或 “+”	与 “·”	非 “—”
0-1律	A+0=A A+1=1 A+A=A A+$\overline{A}$=1(互补律)	A·0=0 A·1=A A·A=A A·$\overline{A}$=0	$\overline{\overline{A}}$=A
结合律	(A+B)+C = A+(B+C)	(AB)C=A(BC)=ABC
交换律	A+B = B+A	AB=BA
分配律	A(B+C) = AB+AC	A+BC = (A+B)(A+C)
反演律（摩根定理）	$\overline{A?B?C?...}$ = $\overline{A}$+$\overline{B}$+$\overline{C}$+… $\overline{A?B}$ = $\overline{A}$+$\overline{B}$	$\overline{A+B+C+...}$ = $\overline{A}$·$\overline{B}$·$\overline{C}$·… $\overline{A+B}$ = $\overline{A}$·$\overline{B}$
吸收律	A + A · B = A A · (A + B) = A A + $\overline{A}$ · B = A + B (A + B) · (A + C) = A + BC
常用恒等式	AB + $\overline{A}$C + BC = AB + $\overline{A}$C	AB+$\overline{A}$C+BCD = AB +$\overline{A}$C

• 反演律，被称为“摩根定理”。（1）用于求一个原函数的非函数（2）对逻辑函数进行变换。
• 可以通过列出真值表的方式证明等式的成立。
• 常用恒等式 AB + $\overline{A}$C + BC = AB + $\overline{A}$C 的证明过程如下：
  AB + $\overline{A}$C + BC = AB + $\overline{A}$C + (A + $\overline{A}$)BC =AB + $\overline{A}$C + ABC + $\overline{A}$BC = AB(1+C) + $\overline{A}$C(1+B) = AB+ $\overline{A}$C
• 上述常用恒等式说明：若两个乘积项中分别包含A和$\overline{A}$，而这两个乘积项的其余因子组成第三个乘积项时，则第三个乘积项是多余的，可以消去。

（2）逻辑代数的基本规则

代入规则

• 等式两边存在某变量A，可以用一个函数代替A，代入等式。
• 代入规则适合所有基本定律或定理的应用范围。

原等式 L	代入的函数	代入后
B (A+C) = BA +BC	E+F	B( (E+F) +C) = B(E+F)+BC
$\overline{AB}$ = $\overline{A}$ + $\overline{B}$	L = CD	$\overline{(CD)B}$ = $\overline{CD}$ + $\overline{B}$ = $\overline{C}$+$\overline{D}$+$\overline{B}$

反演规则

• 原函数L
• 将原函数中的 与（·） 换成 或（+）
• 将原函数中的 或（+） 换成 与（·）
• 将原函数中的 原变量A 换成 非变量$\overline{A}$
• 将原函数中的 非变量$\overline{A}$ 换成 原变量A
• 得到非函数$\overline{L}$

原函数L	非函数$\overline{L}$
L = $\overline{AB}$ + CD + 0	$\overline{L}$ = (A+B)·（$\overline{C}$+$\overline{D}$）· 1 = (A+B)·（$\overline{C}$+$\overline{D}$）
L = A + $\overline{B\overline{C}+\overline{D+\overline{E}}}$	$\overline{L}$ = $\overline{A}$ · $\overline{(\overline{B}+C)+\overline{\overline{D}?E}}$)

对偶规则

• 与反演规则不同，无需将 变量A 变为 非变量$\overline{A}$
• 变换时，注意保持 “先括号，然后与，最后或”的运算顺序。
• 原函数L
• 将原函数中的 与（·） 换成 或（+）
• 将原函数中的 或（+） 换成 与（·）
• 1换成0
• 0换成1
• 对偶式L’

原函数L	对偶式L’
L = (A+$\overline{B}$ )(A+C)	L’ = A$\overline{B}$ +AC
吸收律 A+$\overline{A}$B = A+B	A·($\overline{A}$+B) = A·B

（3）逻辑函数的代数化简法

化简逻辑函数，节省逻辑电路的器件。

最简 与-或 表达式（积之和）

• 与（逻辑乘），把变量连接起来。与项，乘积项。
• 或运算，将乘积项连接起来。
• 定义：若干个逻辑关系相同的“与-或表达式”中，包含的与项数最少，每个与项中变量最少的表达式，称为“最简 与-或 表达式”。

与-或表达式	与非-与非 表达式	或 - 与 表达式	或非-或非表达式	与-或非表达式
L = AC + $\overline{C}$D	L =$\overline{\overline{AC}?\overline{\overline{C}D}}$	L = (A+$\overline{C}$)(C+D)	L = $\overline{\overline{(A+\overline{C})}+\overline{(C+D)}}$	L = $\overline{\overline{A}C+\overline{C}?\overline{D}}$

L = AC + $\overline{C}$D
= $\overline{\overline{AC+\overline{C}D}}$
= 反演律 $\overline{\overline{AC}?\overline{\overline{C}D}}$

L = AC+ $\overline{C}$D
= 吸收律 (AC + ACD) + 吸收律($\overline{C}$D + $\overline{C}$DA)
= 交换结合律/常用恒等式 AC+ $\overline{C}$D + AD· （C+$\overline{C}$）
= 0-1律 AC+ $\overline{C}$D + AD· 1
= 0-1律 AC + $\overline{C}$D +AD +0
= 0-1律 AC + $\overline{C}$D +AD +$\overline{C}$C
=结合律 (A+$\overline{C}$) ( C + D )

L = AC + $\overline{C}$D = (A+$\overline{C}$) ( C + D )
= $\overline{\overline{(A+\overline{C})(C+D)}}$
= 反演律 $\overline{\overline{(A+\overline{C})}+\overline{(C+D)}}$
= 反演律 $\overline{\overline{A}C+\overline{C}?\overline{D}}$

逻辑函数的化简方法

• 代数法。运用逻辑代数的基本定律和恒等式对逻辑函数进行化简

• 代数法 - 并项法
  利用 A+$\overline{A}$ = 1。
  $L_1=ABC+AB\overline{C}=AB(C+\overline{C})=AB$

• 代数法 - 吸收法
  利用A+AB=A。
  L = $\overline{A}$B +$\overline{A}$BCDE+$\overline{A}$BCDF = $\overline{A}$B

• 代数法 - 消去法
  利用A+$\overline{A}$B = A+B。
  L = AB + $\overline{A}$C + $\overline{B}$C
  = AB + ($\overline{A}$ + $\overline{B}$)C
  = AB + $\overline{AB}$ C
  = AB + C

• 代数法 - 配项法(要有一定的经验，否则越配越繁)
  利用A=A(B+$\overline{B}$)
  L= AB+ $\overline{A}$· $\overline{C}$ + B · $\overline{C}$
  = AB + $\overline{A}$· $\overline{C}$ + (A+$\overline{A}$·)B · $\overline{C}$
  = AB + $\overline{A}$· $\overline{C}$ + AB $\overline{C}$ + $\overline{A}$B $\overline{C}$
  = (AB+AB$\overline{C}$ ) + ( $\overline{A}$· $\overline{C}$ + $\overline{A}$· $\overline{C}$ B)
  = AB + $\overline{A}$· $\overline{C}$

2.2 逻辑函数的卡诺图化简法

利用卡诺图法，得到最简的逻辑表达式。

（1）最小项的定义以及性质

• 定义：
  （1）n个变量的最小项，是n个因子的乘积。每个变量因子都以原变量或者非变量的形式在乘积项中出现，且仅出现一次。
  （2）A，B，C三个变量的最小项有$2^3=8$个，(0 = 0b000)$\overline{A}$·$\overline{B}$·$\overline{C}$，(1 = 0b001)$\overline{A}$·$\overline{B}$·C，(2 = 0b010)$\overline{A}$·B·$\overline{C}$，(3 = 0b011)$\overline{A}$·BC，(4 = 0b100)A·$\overline{B}$·$\overline{C}$，(5 = 0b101)A·$\overline{B}$·C，(6 = 0b110)AB·$\overline{C}$，(7 = 0b111)ABC

A	B	C	$\overline{A}$·$\overline{B}$·$\overline{C}$	$\overline{A}$·$\overline{B}$·C	$\overline{A}$·B·$\overline{C}$	$\overline{A}$·BC	A·$\overline{B}$·$\overline{C}$	A·$\overline{B}$·C	AB·$\overline{C}$	ABC
0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0
0	0	1	0	1	0	0	0	0	0	0
0	1	0	0	0	1	0	0	0	0	0
0	1	1	1	0	0	1	0	0	0	0
1	0	0	1	0	0	0	1	0	0	0
1	0	1	1	0	0	0	0	1	0	0
1	1	0	1	0	0	0	0	0	1	0
1	1	1	1	0	0	0	0	0	0	1

• 性质：
  （1）输入变量取一组值，在所有的最小项中，只会有一组最小项值为1。
  （2）不同的最小项，使它值为1的输入变量的取值 是不同的。
  （3）输入变量取一组值，任意两个最小项的乘积为0。
  （4）输入变量取一组值，所有最小项之和为1。

• 最小项的编号：
  （1）$m_0$ : (0 = 0b000)$\overline{A}$·$\overline{B}$·$\overline{C}$
  （2）$m_1$ : (1 = 0b001)$\overline{A}$·$\overline{B}$·C
  （3）$m_2$ : (2 = 0b010)$\overline{A}$·B·$\overline{C}$
  （4）$m_3$ : (3 = 0b011)$\overline{A}$·BC
  （5）$m_4$ : (4 = 0b100)A·$\overline{B}$·$\overline{C}$
  （6）$m_5$ : (5 = 0b101)A·$\overline{B}$·C
  （7）$m_6$ : (6 = 0b110)AB·$\overline{C}$
  （8）$m_7$ : (7 = 0b111)ABC

（2）逻辑函数的最小项表达式

• 最小项表达式：逻辑函数L = 若干个最小项之和

• L(A,B,C) = AB + $\overline{A}$C 不是最小项表达式
  L(A,B,C) = AB + $\overline{A}$C = AB（C+ $\overline{C}$） + $\overline{A}$(B+ $\overline{B}$)C = ABC + AB$\overline{C}$ + $\overline{A}$BC + $\overline{A}$·$\overline{B}$C

• L(A,B,C) = $m_7$ + $m_6$ + $m_3$ + $m_1$ = $\sum m(1,3,6,7)$

• 任意一个逻辑函数，经过变换，都能表示成 唯一的最小项表达式。

（3）用卡诺图表示逻辑函数

• 将逻辑函数的最小项表达式中的各个最小项，对应地填入特定的方格中。
• 卡诺图是逻辑函数的图形表示。

1个变量D 的卡诺图

$2^1$=2 个最小项（$m_0$=$\overline{D}$和$m_1$=D）。

2个变量C和D 的卡诺图

“折叠展开” 法则，如下图所示。
$2^2$=4 个最小项（$m_0$=$\overline{C}$·$\overline{D}$和$m_1$=$\overline{C}$·D和$m_2$= C·$\overline{D}$和$m_3$= C·D）。

3个变量B和C和D的卡诺图

“折叠展开” 法则，如下图所示。

4个变量A和B和C和D的卡诺图

• 卡诺图的特点：循环邻接
  （1）各个小方格对应的各变量不同的组合。
  （2）一个格子与上下左右相邻的格子只有一个因子的差异
  （3）边界最上与最小，边界最左与最右，4个对角格子上下左右满足相邻（斜对角不相邻），一个因子的差异。

• 举例画卡诺图：
  （1）L(A,B,C,D) = $\sum m(0,1,2,3,4,8,10,11,14,15)$ ，存在的最小项，在对应的卡诺图格子中填1，不存在的最小项，在格子中填0
  
  （2）L(A,B,C,D) = ($\overline{A}$+$\overline{B}$+$\overline{C}$+$\overline{D}$) ($\overline{A}$+$\overline{B}$+C+$\overline{D}$) ($\overline{A}$+B+$\overline{C}$+D) (A+$\overline{B}$+$\overline{C}$+D) (A+B+C+D)
  反演律（摩根定理）$\overline{L}$= ABCD + AB·$\overline{C}$D + A$\overline{B}$·C·$\overline{D}$ + $\overline{A}$·BC·$\overline{D}$ +$\overline{A}$·$\overline{B}$·$\overline{C}$·$\overline{D}$ = $\sum m(15,13,10,6,0)$
  

（4）用卡诺图化简逻辑函数

化简的依据

（1）根据“循环邻接”的特性（上下左右）。
（2）两个相邻的方格为1，他们的和将消去一个变量。如：（$m_{15}=1111$）ABCD + （$m_{14}=1110$）ABC$\overline{D}$ = ABC
（3）四个相邻的方格为1，他们的和将消去两个变量。如 ($m_2=0010$）$\overline{A}?\overline{B}?C?\overline{D}$ + ($m_3=0011$）$\overline{A}?\overline{B}?C?D$ + ($m_6=0110$）$\overline{A}?B?C?\overline{D}$ + ($m_7=0111$）$\overline{A}?B?C?D$ = $\overline{A}?C$

化简的步骤

（1）将逻辑函数"L" 写成最小项表达式。
（2）填写卡诺图，存在的最小项在表格中填写1，其余方格填0。
（3）合并最小项。相邻的1方格 圈成一组（包围圈，虚线框）。每组包含$2^n$个方格。每个包围圈写成一个新的乘积项。可重复包围。
（4）将所有的包围圈对应的乘积项相加。
L (A,B,C,D) = $\sum m(0,2,5,7,8,10,13,15)$ = B·D+ $\overline{B}$·$\overline{D}$

• 很多情况可以圈0，得到的是化简式的非，即“$\overline{L}$”
  $\overline{L}$ = $\overline{B}$D+B$\overline{D}$
  L = $\overline{\overline{B}D+B\overline{D}}$ =( B+$\overline{D}$) ($\overline{B}$+D) = B·D+ $\overline{B}$·$\overline{D}$
  
• 本章节最重要的注意点 – 将真值表转化为卡诺图，可以得到逻辑函数。
  （1）实际应用中，可以确定输入变量的个数以及状态。可以确定输出的结果。
  （2）列出真值表。
  （3）根据真值表，填写卡诺图。
  （4）进行卡诺图化简，得到逻辑函数（化简后的最小项表达式）。
  （5）进行逻辑电路的设计与实现。

例如：真值表

$m_{0?15}$	A	B	C	D	L
$m_0$	0	0	0	0	1
$m_1$	0	0	0	1	0
$m_2$	0	0	1	0	0
$m_3$	0	0	1	1	0
$m_4$	0	1	0	0	1
$m_5$	0	1	0	1	1
$m_6$	0	1	1	0	0
$m_7$	0	1	1	1	0
$m_8$	1	0	0	0	1
$m_9$	1	0	0	1	0
$m_{10}$	1	0	1	0	1
$m_{11}$	1	0	1	1	0
$m_{12}$	1	1	0	0	1
$m_{13}$	1	1	0	1	0
$m_{14}$	1	1	1	0	0
$m_{15}$	1	1	1	1	1

卡诺图

逻辑函数
L = $\overline{C}$·$\overline{D}$ + A$\overline{B}$·$\overline{D}$ + $\overline{A}$B$\overline{C}$ + ABCD

具有无关项的化简

（1）在真值表内，对应于变量的某些取值下，函数L的值可以是任意的。或者这些变量的取值根本不会出现。这些变量取值所对应的最小项称为无关项或任意项。
（2）在卡诺图中，无关项的意义是，它的值X可以是0或者1。

对应十进制数	变量A	变量B	变量C	变量D	输出L （奇数1，偶数0）
0	0	0	0	0	0
1	0	0	0	1	1
2	0	0	1	0	0
3	0	0	1	1	1
4	0	1	0	0	0
5	0	1	0	1	1
6	0	1	1	0	0
7	0	1	1	1	1
8	1	0	0	0	0
9	1	0	0	1	1
无关项	1	0	1	0	X
无关项	1	0	1	1	X
无关项	1	1	0	0	X
无关项	1	1	0	1	X
无关项	1	1	1	0	X
无关项	1	1	1	1	X

根据卡诺图，可以得出 $L=D$
包围圈 覆盖了 正负A，正负B，正负C，正D。

2.3 硬件描述语言 Verilog HDL 基础

• 硬件描述语言Verilog HDL 类似于高级程序设计语言（C语言等等）。
• 一种以文本形式来描述数字系统硬件的结构和行为的语言。
• 计算机对于HDL的处理包括：逻辑仿真和逻辑综合。
• 逻辑仿真：计算机软件对数字逻辑电路的结构和行为进行预测。以文本形式或者时序波形的形式给出电路的输出。
• 逻辑综合：从HDL描述的数字逻辑电路模型中，导出电路基本元器件列表以及元器件之间的连接关系（门级网表）。
• 硬件描述语言的发展：早期的ABEL -> 目前的 VHDL（美国国防部）和Verilog（Cadence收购的一家公司） 。
• Verilog 更容易学习和使用。

（1）Verlog的基本语法规则

间隔符

空格符 \b
Tab键  \t
换行符 \n

注释符

/* 注释1 */
//注释2

标识符和关键词

• 标志符：给对象取名。使用英文字母，数字，“$”和下划线“_”。必须以英文字母或者下划线开始。区分英文大小写。
• 关键字：通常为小写的英文字符串。不能作为标识符使用。

module
endmodule
input
output
wire
reg
and
等等

逻辑值集合

• 四种基本的逻辑值

值	含义
0	逻辑0，逻辑假
1	逻辑1，逻辑真
x 或 X	不确定的值（未知状态）
z 或 Z	高阻态

常量及其表示

• 程序运行过程中，不能改变数值的量，称为常量。
• 整数型常量

<+/-> <位宽> ' <基数符号> <数值>

（1）<+/-> 正负号，当常量为正整数时，可以省略正号不写。
（2）<位宽> 二进制数的宽度
（3）<基数符号> 后面数值的表示形式。b或者B表示后面的数值是二进制数。d或者D表示后面的数值是十进制数。h或者H表示后面的数值是十六进制数。o或者O表示后面的数值是八进制数。
（4）可以在数字之间增加下划线，增加可读性。

3'b101
5'o37
8'he3
-4'd10
4'b1x0x
8'b1001_0011

• 实数型常量
  （1）两种表示方法，简单的十进制记数法；科学记数法。

0.01
2.0
4.56

23_5.1E2   = 23 510.0
3.6E2      = 360.0
5E-4       = 0.0005 

• 使用标识符代表一个常量，称为符号常量

parameter 参数名1 = 常数表达式 , 参数名2 = 常量表达式2 ,  ... ;

parameter BIT = 1 , BYTE = 8 , PI = 3.14;
parameter DELAY = (BYTE + BIT)/2;

字符串

• 双引号" " 内部的字符序列。
• 不允许多行书写

"ab"  = 16'h5758

（2）变量的数据类型

• 与常量不同，程序运行过程中，值可以改变，称为变量。
• verilog中有两种变量：线网类型，寄存器类型。

线网类型 net type

• 线网类型是硬件电路中元器件之间实际连线的抽象。
• 线网类型变量的值由驱动元件的值决定。
• 如下图所示，L就是一个线网类型的变量。
  

wire a,b; //声明两个线网变量a和b （上图中的a和b）， 默认是一位位宽
wrie L; //声明线网变量L ，默认是一位位宽

• 线网类型关键字包括

wire
wand
wor
tri
triand
trior
trireg
等等

• 线网类型变量被定义后，如果没有驱动元件驱动，则线网类型变量处于默认值，“高阻态”z。

• 线网trireg变量的默认值是x

• 线网类型的关键字是wire。默认是一位位宽。

wire[ n-1 : 0 ] 变量名1,变量名2,变量名3, ... ,变量名m ;

wire [7:0] databus;//声明定义一个 8位宽的 变量databus。（总线）
wire[32:1] busA,busB,busC;//3个位宽为32的线网变量（总线）

寄存器类型 register type

• 寄存器类型是数据存储单元的抽象。
• 寄存器类型变量具有状态保持的作用。
• 寄存器型变量只能在initial或always内部被赋值。
• 寄存器型变量在没有被赋值时默认值是x。

寄存器类型	功能说明
reg	用于行为描述中对寄存器型变量的说明（默认位宽为1）
integer	32位带符号的整数型变量
real	64位带符号的实数型变量，默认为0
time	64位无符号的时间型变量

• reg

reg[ n-1 :0 ] 变量名1, 变量名2, 变量名3, ... ,变量名n;

reg clock;//定义1位寄存器变量
reg[3:0] counter;//定义4位寄存器变量

• integer、real、time 纯数学的抽象描述
• initial是一个过程语句结构

integer counter;//定义一个整型变量
initial
counter = -1;//将-1以补码的形式存储在counter中

• real型变量，用于对实数型常量进行存储和运算。实数不能定义范围，其默认值为0。实数值被赋值赋值给一个integer型变量时，只保留整数部分的值。

real delta;
initial
    begin
         delta = 4e10;//给delta赋值
         delta = 2.13;
    end
    
integer i;//定义一个整型变量i;
initial
     i = delta;//i 得到的值是2（只将实数2.13的整数部分赋值给i）

• time型变量，存储仿真时间，无符号数。
• 调用$time可以得到当前的仿真时间。

time current_time;//定义一个时间类型的变量
initial
    current_time = $time;//保存当前的仿真时间到变量current_time中。

（3）Verilog程序的基本结构

• verilog 包括大约100个关键字。
• 使用一个或者多个模块对数字电路进行建模。

模块module

• 模块名是模块唯一标识符。
• 端口类型说明必须明确。输入端口input、输出端口output、双向端口inout
• 参数定义将常量用符号常量代替。
• 数据类型定义，指定模块内使用的数据对象的类型。寄存器类型或者线网类型。

module 模块名(端口名1,端口名2,端口名3,...)
端口类型说明(input,output,inout)
参数定义（可选）
数据类型定义（wire，reg等）

实例化低层模块和基本门级元件;
连续赋值语句（assign）;
过程块结构（initial和always）
    行为描述语句;
endmodule

• 三种不同风格描述电路的功能。
  （1）（结构描述方式）使用实例化低层模块的方法，调用其他已经写好的低层模块。或者直接调用verilog内部基本门级元件描述的电路电路接口。
  （2）（数据流描述方式）使用连续赋值语句。适合组合逻辑电路建模。
  （3）（行为描述方式）使用过程块语句结构（initial和always），使用比较抽象的高级程序语句。行为描述是学习的重点。
  （4）附加一种描述方式（开关级描述方式），专门针对MOS管构成的逻辑电路进行建模。

示例

//简单电路的门级描述
module mux2tol(a,b,sel,out)
    input a,b,sel;//定义输入信号
    output out;//定义输出信号
    wrie selnot,a1,b1;//定义内部节点信号数据类型
//下面对电路的逻辑功能进行描述
    not U1(selnot,sel);
    and U2(a1,a,selnot);
    and U3(b1,b,sel);
    or U4(out,a1,b1); //得到out输出信号 
endmodule

（4）逻辑功能的仿真与测试

• 使用Quartus II软件。
• 仿真，建立一个矢量波形文件（.vwf）作为激励信号。
• 略，未完待续。