应用光学研读——第二章 球面和共轴球面系统

第二章 球面和共轴球面系统

2.1 光线经过单个折射球面的折射

共轴球面系统：绝大部分光学系统由球面和平面（折射面和反射面）组成，各球面球心在一条直线上，形成系统的对称轴，即光轴，这样的系统称为共轴球面系统。

为进行光线的光路计算，可以先对单个折射球面进行讨论，推导近轴光计算公式和讨论光学系统近轴光的特性.

1. 符号规则

	含义
OE	折射面，折射率为n和n’的两个介质的分界面
C	球心
OC	球面曲率半径，数值为r
O	顶点：光轴与球面的交点

参量符号的限定如下：

参量	符号限定
沿轴线段	O为原点，O到线段另一点的方向与光线方向相同，则为正，反之，则为负
垂轴线段	光轴以上为正，光轴以下为负
光轴与光线夹角	光轴与光线的锐角来度量，光轴转向光线顺时针为正，逆时针为负
光轴与法线夹角	光线以锐角方向转向法线，顺时针为正，逆时针为负

参量符号限定的意义：

为了使确定光线位置的参量更有确切的含意，使以后推导出的光线的光路计算公式不论是凸折射面或凹折射面、光线与光轴交点的位置在顶点的左边还是右边、光线在光轴以上还是以下均能普遍适用，必须对这些参量及其他有关量的符号加以规定。

2. 实际光线经过单个折射球面的光路计算公式

应用两个三角形的正弦定律、折射定律等可得像方截距：

$$L^{\prime }=r+r\frac{sin{I}^{\prime }}{sin{U}^{\prime }}\text{\hspace{1em}(2.4)}$$

L为定值时，L’是U的函数，如下图所示：

球差：像方光束不再和光轴交于一点，失去了同心性。故轴上一点以有限孔径角的光束经过单个折射面成像时，一般是不完善的，这种现象称为球面像差，简称，球差。

3. 近轴光的光路计算公式

若A发出的入射于球面的光线与光轴夹角非常小，其相应的角度I,I’,U’也非常小，这些角度的正弦值可以用弧度代替，以对应小写字母表示，对上述进行运算得到公式如下：

$$n[\frac{1}{r}?\frac{1}{l}]=n^{\prime }[\frac{1}{r}?\frac{1}{l^{\prime }}]=Q\text{\hspace{1em}(2.7)}$$
$$n^{\prime }{u}^{\prime }?nu=\frac{n^{\prime }?n}{r}h\text{\hspace{1em}(2.8)}$$
$$\frac{n^{\prime }}{l^{\prime }}?\frac{n}{l}=\frac{n^{\prime }?n}{r}\text{\hspace{1em}(2.9)}$$

Q为阿贝不变量，对于一个折射球面，物空间和像空间的Q值相同，数值随共轭点的位置不同而不同。三个式子互相等价。式2.8描述折射前后夹角的关系，式2.9描述l和l’的关系。

2.2 单个折射面的成像倍率、拉赫不变量

1. 垂轴倍率

如图所示，垂轴小线段通过折射球面成像A’B’，AB像高y，A’B’像高y’，像的大小与物的大小的比值称为垂轴倍率，用b表示：

$$b=\frac{y^{\prime }}{y}\text{\hspace{1em}(2.10)}$$

经过计算，得到

$$b=\frac{n{l}^{\prime }}{n^{\prime }l}\text{\hspace{1em}(2.11)}$$

2. 轴向倍率

轴向倍率是广州光轴上一对共轭点沿轴移动量之间的关系。用希腊字母α表示，定义为：

$$\alpha =d{l}^{\prime }/dl\text{\hspace{1em}(2.12)}$$
对式2.9微分，运算得到：

$$\alpha =\frac{n^{\prime }}{n}{b}^2\text{\hspace{1em}(2.14)}$$

如果物体时一个正方体，则因垂轴倍率和轴向倍率的不一致，其像不再是正方体。

折射球面轴向倍率为正值，表示物点沿轴移动，像点向同样的方向沿轴移动。

式2.14适用于dl很小时，如果物点沿轴移动有限距离，则可以计算首尾距离得到：

$$a=\frac{l_2^{\prime }?l_1^{\prime }}{l_2?l_1}\text{\hspace{1em}(2.15)}$$

计算得到：

$$a=\frac{n^{\prime }}{n}{b}_1{b}_2\text{\hspace{1em}(2.16)}$$

3. 角倍率

$$g=u^{\prime }/u\text{\hspace{1em}(2.17a)}$$

$$g=\frac{n}{n^{\prime }}\frac{1}{b}\text{\hspace{1em}(2.17b)}$$

4. 三个倍率之间的关系

$$\alpha g=b\text{\hspace{1em}(2.19)}$$

5. 拉格朗日-赫姆霍兹不变量

拉赫公式：

$$nuy=n^{\prime }{u}^{\prime }{y}^{\prime }=J\text{\hspace{1em}(2.20)}$$

2.3 共轴球面系统

前面单个折射球面不能作为一个基本成像元件（反射镜是折射面的特例），基本成像元件是至少由两个球面或非球面所构成的透镜。

1. 共轴球面系统的转面公式

一个共轴球面系统由一系列数据所确定：

1. 各个折射球面的曲率半径:$r_1,r_2,...,r_k$；
2. 各相邻折射面顶点之间的间隔:$d_1,d_2,...,d_{k?1}$；
3. 各个球面间介质的折射率:$n_1,n_2,...,n_{k+1}$。

$$n_2=n_1^{\prime },n_3=n_2^{\prime },...,n_k=n_{k?1}^{\prime }$$
$$u_2=u_1^{\prime },u_3=u_2^{\prime },...,u_k=u_{k?1}^{\prime }\text{\hspace{1em}(2.21)}$$
$$y_2=y_1^{\prime },y_3=y_2^{\prime },...,y_k=y_{k?1}^{\prime }$$

$$l_2=l_1^{\prime }?d_1,l_3=l_2^{\prime }?d_2,...,l_k=l_{k?1}?d_{k?1}\text{\hspace{1em}(2.22)}$$

2. 共轴球面系统的拉赫不变量

$$n_1{u}_1{y}_1=n_2{u}_2{y}_2=...=n_k{u}_k{y}_k=n_k^{\prime }{u}_k^{\prime }{y}_k^{\prime }=J\text{\hspace{1em}(2.25)}$$

3. 共轭球面系统的倍率计算

垂轴倍率

$$b=b_1{b}_2{b}_3....b_k\text{\hspace{1em}(2.27)}$$

$$b=\frac{n_1}{n_k^{\prime }}\frac{u_1}{u_k^{\prime }}\text{\hspace{1em}(2.28)}$$

轴向倍率

$$a=a_1{a}_2{a}_3....a_k\text{\hspace{1em}(2.29)}$$

$$a=\frac{n_k^{\prime }}{n_1}{b}^2\text{\hspace{1em}(2.30)}$$

角倍率

$$g=g_1{g}_2....g_k\text{\hspace{1em}(2.31)}$$

$$g=\frac{n_1}{n_k^{\prime }}\frac{1}{b}\text{\hspace{1em}(2.32)}$$

综合：

$$ag=b\text{\hspace{1em}(2.33)}$$

2.4 球面反射镜

球面反射镜的物象公式

$$n^{\prime }=?n$$

$$\frac{1}{l^{\prime }}+\frac{1}{l}=\frac{2}{r}\text{\hspace{1em}(2.34)}$$

球面反射镜的成像倍率

$$b=?\frac{l^{\prime }}{l},a=?b^2,g=?\frac{1}{b}\text{\hspace{1em}(2.35)}$$

球面反射镜的拉赫不变量

$$J=uy=?u^{\prime }{y}^{\prime }$$